Deje $n$ ser un entero positivo tal que $\displaystyle{\frac{3+4+\cdots+3n}{5+6+\cdots+5n} = \frac{4}{11}}$

Question

Deje $n$ ser un entero positivo tal que $$\displaystyle{\frac{3+4+\cdots+3n}{5+6+\cdots+5n} = \frac{4}{11}}$$ entonces $$\displaystyle{\frac{2+3+\cdots+2n}{4+5+\cdots+4n}} = \frac{m}{p}.$$

La pregunta más "Es $m+p$ un primo?"

Answer 1

En el primer intento, estuve tentado a hacer $\displaystyle{3+4+\cdots+3n = \frac{3n(3n+1)}{2}-3}$, pero hay $4$ expresiones de ese tipo, es mejor encontrar una forma general de esta

$$ \begin{align*} k+(k+1)+(k+1)+\cdots+kn &= \frac{1}{2} \left[ kn(kn+1)-k(k-1) \right]\\ &= \frac{1}{2}\left[ k(n+1)(kn-k+1)\right] \tag{1} \end{align*} $$

Appying $(1)$$\displaystyle{\frac{3+4+\cdots+3n}{5+6+\cdots+5n}} = \frac{3(n+1)(3n-3+1)}{5(n+1)(5n-5+1)} =\frac{3(3n-1)}{5(5n-4)} = \frac{4}{11}$, nos conduce a $\displaystyle{\frac{3n-2}{5n-4}=\frac{20}{33}}$ y más con una expresion $99n-66=100n-80 \Rightarrow n=14$

$$ \displaystyle{\frac{2+3+\cdots+2n}{4+5+\cdots+4n}} =\frac{2(n+1)(2n-2+1)}{4(n+1)(4n-4+1)} = \frac{30\times27}{60\times53} =\frac{27}{106} $$

$m+p=27+106=133$. Pero $133 = 7\times19$. Por lo tanto la respuesta es "No, $m+p=133$ no es un número primo".

(Para los que preguntan lo acabo de cambiar, para mayor claridad, he cambiado el lado derecho a ser $\frac{m}{p}$, la respuesta aún se mantiene)

Answer 2

$k+(k+1)+...+kn=\frac{k}{2}(n+1)(kn-k+1)$ (la mitad de la suma de la primera y la última términos veces el número de términos)$=\frac{k}{2}(kn^2+n-(k-1))$

Ahora, a partir de la primera ecuación obtenemos $n$: $$33(3n^2+n-2)=20(5n^2+n-4)$$ $$n^2-13n-14=0$$ $$(n-14)(n+1)=0$$ $$n>0\Rightarrow n=14$$

Y de la segunda ecuación obtenemos $m$: $$m=n\frac{2n^2+n-1}{8n^2+2n-6}=\frac{189}{53}=3.566...$$

Por eso, $m+n$ no es primo, porque aun no se entero...