¿Qué es $[\mathbb{Q}(i,\sqrt{2},\sqrt{3}):\mathbb{Q}]$?

Question

¿Qué es $[\mathbb{Q}(i,\sqrt{2},\sqrt{3}):\mathbb{Q}]$?

Por un lado, tenemos a $[\mathbb{Q}(i,\sqrt{2},\sqrt{3}):\mathbb{Q}(i,\sqrt{2})]\cdot[\mathbb{Q}(i,\sqrt{2}):\mathbb{Q}(i)]\cdot[\mathbb{Q}(i):\mathbb{Q}]=2^3=8.$

Por otro lado, el polinomio mínimo en $\mathbb{Q}[x]$ contiene $i,\sqrt{2},\sqrt{3}$ como raíces es $(x^2+1)(x^2-2)(x^2-3)$, que es de grado $6$.

Lo estoy entendiendo mal?

Answer 1

Estás aplicando correctamente el grado teorema, pero la igualdad $$ [\mathbb{Q}(i,\sqrt{2},\sqrt{3}):\mathbb{Q}(i,\sqrt{2})]=2 $$ no es obvio. Yo uso diferente de la cadena de subcampos, recordando que $\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})=\mathbb{Q}(\sqrt{2}+\sqrt{3})$, que tiene un grado $4$$\mathbb{Q}$.

De hecho, es claro que $\mathbb{Q}(i,\sqrt{2}+\sqrt{3})\ne \mathbb{Q}(\sqrt{2}+\sqrt{3})$, por lo que $$ [\mathbb{Q}(i,\sqrt{2}+\sqrt{3}):\mathbb{Q}(\sqrt{2}+\sqrt{3})]=2 $$ debido a $i$ satisface $X^2+1$. A continuación, se puede concluir que [$\mathbb{Q}(i,\sqrt{2},\sqrt{3}):\mathbb{Q}]=8$.

¿Por qué no es $6$? Cuando el factor de $\mathbb{Q}[X]$ por el ideal generado por un no polinomio irreducible, el anillo que usted recibe no es un campo. De modo que el anillo de $$ \mathbb{Q}[X]/((X^2+1)(X^2-2)(X^2-3)) $$ tiene dimensión $6$$\mathbb{Q}$, pero no es la división de campo de la polinomio.

Otro ejemplo en la dirección opuesta: el campo de $\mathbb{Q}[X]/(X^3-2)$ tiene el grado $3$$\mathbb{Q}$, pero no es la división de campo de la polinomio. Así que usted no puede decir que $\mathbb{Q}(\omega\sqrt[3]{2},\sqrt[3]{2})$ tiene el grado $3$ $\mathbb{Q}$ sólo porque ambos elementos satisfacer $X^3-2$ (donde $\omega$ no es real raíz cúbica de a $1$).

Answer 2

El polinomio de dar, no es irreducible y no es el polinomio mínimo de una sola $\alpha$$\mathbb Q(\alpha)=\mathbb Q(i,\sqrt 2,\sqrt 3)$. De la nada me sugieren que $\alpha=i+\sqrt 2+\sqrt 3$ tiene la propiedad deseada - trate de encontrar su polinomio mínimo.

Answer 3

8 sonidos de derecho, y su razonamiento es correcto así. $\mathbb{Q}[i,\sqrt{2},\sqrt{3}]$ es la división de campo de la polinomio se dio. La única cosa que usted puede ser que falte es el grado de la división de campo no es necesariamente el grado del polinomio de sí mismo.