Tengo curiosidad por el siguiente diagrama:
La imagen implica que un círculo de radio infinito es una línea. Intuitivamente, entiendo esto, pero me preguntaba si este problema podría ser declarado y probado formalmente. ¿Bajo qué definición de "círculo" y "línea" se sostiene esto?
¡Gracias!
Un círculo de radio $r$ cuyo centro está en $(r,0)$ tiene la forma paramétrica $$ \begin{array}{}x=r(1-\cos(\theta/r))&y=r\sin(\theta/r)\end{array}\tag{1} $$ el límite de la curva en $(1)$ como $r\to\infty$ es $$ \begin{array}{}x=0&y=\theta\end{array}\tag{1} $$ que es la línea vertical en su imagen.
Adenda:
En Geometría inversa Los círculos y las líneas se consideran lo mismo. La inversa de un círculo que pasa por el centro de la inversión es una línea que no pasa por el centro y viceversa. La inversa de una recta que pasa por el origen es la propia recta.
En la siguiente imagen, los círculos rojo y verde son inversos con respecto al círculo gris. Observa que cuando el círculo rojo pasa por el centro de la inversión, el círculo verde se convierte en una línea.
¿Sería más exacto decir que el objeto verde, en el marco en el que es recto, es una familia infinita de líneas posicionadas infinitamente lejos unas de otras? Intuitivamente, parece que en algún lugar a la derecha de esta imagen, en una galaxia muy lejana, hay otra línea vertical que constituye el borde derecho del círculo, y un número infinito de líneas con otras pendientes cada una en su propio mundo.
Sinceramente, yo también lo he pensado antes. Creo que tiene que ver con la relación potencia-peso de los ventiladores.
No pude encontrar las especificaciones técnicas de los ventiladores, pero adorando el peso de envío de Amazons (6.4 lb = 2.9 kg) de un ventilador Dyson de 10 pulgadas (25 cm), podemos estimar que pesa alrededor de 2 kg.
Es mucho para un aparato tan pequeño. Las hélices tradicionales de este tamaño pueden pesar unos 200 gramos (por ejemplo, las que se utilizan en los aeromodelos). Por supuesto, están optimizadas para tener poca masa, pero la diferencia sigue pareciendo grande.
NB : Sé que este es un foro de física, y en este post he utilizado masa y peso indistintamente, pero no se me ocurre un verbo de masa como "pesar"
Bueno, esto es cierto en el plano euclidiano ordinario. Es falso en el plano hiperbólico ordinario. El "límite" de las circunferencias que pasan por un punto común, al crecer el radio sin límite, es un horocycle . A veces se escribe horocircle.
En su imagen anterior, habría dos horóculos tangentes a su línea en el punto $C$ Uno a cada lado de la línea.
En fin, hay páginas de cosas que describir sobre esto. Quizá debería decir simplemente que existe una definición axiomática "intrínseca" de plano hiperbólico, modernizada por David Hilbert. Es probable que te encuentres primero con algunos de los modelos, siendo los más populares el disco de Poincaré, el plano medio superior de Poincaré, el modelo de Beltrami-Klein, el modelo del hiperboloide de una hoja en el espacio de Minkowski 3. Los dos primeros y el cuarto se encuentran en el enlace de la wikipedia.
Depende mucho de lo que se considere un círculo en el plano hiperbólico. Por ejemplo, tomando el modelo de Poincaré junto con su imagen especular obtenida por inversión, se pueden tratar como círculos hiperbólicos los pares de círculos euclidianos que son inversos entre sí. Dependiendo de la relación entre estos dos círculos, se obtienen círculos "reales" (sin intersección), heterociclos (que se tocan), curvas de igual distancia (que se cruzan) y líneas (que inciden), todos ellos como casos especiales de un concepto más general de círculos. Todos ellos tienen equivalentes razonables en otros modelos.
Pero tengo que confesar que tienes razón con respecto a la parte del "radio infinito". Un "círculo real" tiene distancia constante a un punto dado, una curva de igual distancia tiene distancia constante a una línea. Una recta tiene distancia cero a esta misma recta. El horóscopo es el caso límite de ambos, teniendo "distancia constante infinita" a un punto ideal o a una línea ideal. +1 de mi parte.
@MvG, puedes juzgar qué contexto estoy usando del pdf en zakuski.utsa.edu/~jagy/papers/Intelligencer_1995.pdf junto con el artículo de Marvin, descargable en mathdl.maa.org/mathDL/22/ y la cuarta edición de su libro. Después de discutir bastante con Marvin, diría que mi enfoque es intrínseco pero ingenuo, debido a una formación en geometría diferencial.
Una curva algebraica genérica de grado $2$ es el conjunto de puntos que satisfacen $$ax^2 + by^2 + cxy + dx + ey + f = 0$$ Se pueden definir como círculos aquellas curvas con $a=b$ y $c=0$ . Se puede calcular el radio como $$r=\sqrt{\frac{d^2 + e^2}{4a^2} - f}$$ Para el caso de $a=b=0$ su ecuación describe una línea, y su radio se vuelve infinito debido a la división por cero. Nótese que la definición también incluye los círculos con radio imaginario, que no tienen puntos en el plano real. Puedes excluirlos restringiendo el rango de parámetros.
Interpretando los puntos de tu plano como números complejos, puedes definir que cuatro puntos se encuentran en una circunferencia o línea común si sus relación cruzada es un número real. Usando esta definición, una línea es sólo un círculo, y el único valor razonable para asignar a su radio es $\infty$ .
Una transformación de Möbius trazará círculos y líneas en el plano complejo (o línea compleja, según el uso que se haga de la palabra) $\mathbb C$ a otros círculos y líneas. Por lo tanto, la definición anterior de círculo también se adapta a estas transformaciones. Existe un tema científico llamado Geometría de Möbius que utiliza vectores de 4 dimensiones para describir tanto líneas como círculos. En esta configuración, una vez más, una línea es un caso especial de círculo, y la realización de cualquier cálculo de radio conducirá al infinito.
Se puede ampliar la geometría de Möbius un poco más para obtener la geometría de Lie, en la que los puntos pares son casos especiales de círculos, concretamente los de radio cero. Las transformaciones de Lie pueden transformar círculos genéricos en líneas o puntos y viceversa.
Se puede definir un círculo como una línea de curvatura constante y sin puntos extremos. Puedes imaginar la curvatura como la inversa del radio, pero también puedes definirla de otras maneras. Obviamente, para el caso de curvatura cero y, por tanto, de radio infinito, obtendrás una recta.
Se puede definir un círculo como una cónica incidente con los dos puntos del círculo complejo $$\begin{pmatrix}1\\i\\0\end{pmatrix} \text{ and } \begin{pmatrix}1\\-i\\0\end{pmatrix}$$ donde los puntos están dados en coordenadas homogéneas en $\mathbb{CP}^2$ . Hay cónicas con coeficientes reales que degeneran en un par de rectas. Una de ellas es la recta en el infinito incidente con los dos puntos anteriores, y la otra puede ser una recta finita. Así que, a menos que tu cónica degenere en una línea doble en el infinito, obtienes una única línea como porción finita de una cónica que, por definición, es un círculo. Puedes calcular el centro de ese círculo usando los puntos de arriba, y el resultado será un punto infinito, indicando el radio infinito.
Varios de ellos se basan en la "ecuación" $1/0=\infty$ que en realidad es más bien una convención, una abreviatura de un caso límite.
@GerryMyerson: viniendo de un fondo de geometría proyectiva, percibo $\infty$ para ser un elemento regular de la línea proyectiva real . En mi mundo, esta ecuación es realmente cierta. Pero supongo que es sólo una cuestión de perspectiva, y las matemáticas "normales" siguen manteniendo que la división por cero es indefinida (a menos que el contexto diga lo contrario).
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