Todas las posibles formas de ordenar los números en una matriz con la disminución de filas y columnas

Question

Dado un número entero positivo números de $1,2,...,N\cdot M$. De cuántas maneras existen para ordenar en un $N\times M$ matriz, dado que la disminución de los valores en cada fila de izquierda a derecha y en cada columna de arriba a abajo? Para arreglos pequeños, uno puede contar, pero no me parece una regla general. Gracias por la ayuda.

Answer 1

Este es el número de estándar de Jóvenes de cuadros para un Joven diagrama de con $N$ filas y $M$ columnas. Por la longitud del gancho de la fórmula, esto es

$$ \frac{(NM)!}{\prod_{i=1}^M\prod_{j=1}^N(i+j-1)}\;. $$

Este es OEIS secuencia A060854. Que de entrada da la fórmula alternativa

$$ (NM)!\prod_{k=0}^{N-1}\frac{k!}{(M+k)!}\;. $$