Cómo probar $f(x^n)$ es divisible por $x^n-1$

Question

La pregunta dice que si $f (x)$ es un polinomio tal que $x-1|f(x^n)$ demostrar que $f(x^n)$ es divisible por $x^n-1$

Esta es la forma en que procedió desde$x-1|f(x^n)$

$f(1)=0$

$\frac {f (x^n)-f(1)}{x^n-1}=g(x)$

desde $f(1)=0$

$\frac{f(x^n)}{x^n-1}=g(x)$ por lo tanto $x^n-1|f(x^n)$

Supongo que mi prueba es incorrecta por favor alguien puede señalar los errores y dar la correcta prueba.

Answer 1

$x-1|f(x^n)$ $\quad\Rightarrow\quad$ $f(1)=0$ $\quad\Rightarrow\quad$ $x-1|f(x)$ $\quad\Rightarrow\quad$ $x^n-1|f(x^n)$.

Answer 2

José solución es agradable. Y estoy de acuerdo con su evaluación de que un error que ha cometido es que usted no explican por qué $g(x)$ es un polinomio. Para ver el error de considerar el siguiente fragmento de razonamiento defectuoso:

Un Hecho Falso. Si $f(1)=0$$(x-1)^2\mid f(x)$.

Prueba. Escribir $$ \frac{f(x)-f(1)}{(x-1)^2}=g(x). $$ Debido a $f(1)=0$ vemos que $$ \frac{f(x)}{(x-1)^2}=g(x). $$ Si la lógica fuera válido, podríamos concluir que $(x-1)^2\mid f(x)$. Pero este resultado es claramente falso en general. Por ejemplo, cuando se $f(x)=x^2-1$ tenemos $f(1)=0$, pero $(x-1)^2\nmid (x^2-1)$.

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Usted también puede hacer lo siguiente.

Vamos $$ f(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_mx^m, $$ donde $m$ es el grado de $f$. Entonces $$ f(x^n)=a_0+a_1x^n+\cdots+a_mx^{nm}. $$ Estamos dado que el $x-1\mid f(x^n)$. Esto significa que $x=1$ es un cero de $f(x^n)$, o que $0=a_0+a_1+\cdots+a_m.$

Pero, a continuación, $$ \begin{aligned} f(x^n)&=f(x^n)-f(1)\\ &=a_0(1-1)+a_1(x^n-1)+a_2(x^{2n}-1)+\cdots+a_m(x^{mn}-1). \end{aligned} $$ Aquí todos los binomios $x^{kn}-1$, $k=0,1,\ldots,m$, son divisibles por $x^n-1$. Por lo tanto así es $f(x^n)$.

Answer 3

La prueba está mal porque no probar que $g(x)$ es un polinomio.

Deje $z\in\mathbb C$ ser tal que $z^n=1$. A continuación,$f(z^n)=f(1)=0$. Por eso, $z$ es una raíz de $f(x^n)$. Por lo tanto, $f(x^n)$ es un múltiplo de$$(x-z_1)(x-z_2)\ldots(x-z_n),\tag{1}$$where $z_1,\ldots,z_n$ are the $n^\text{th}$ roots of unity. But $(1)=(x^n-1)$.

Answer 4

Suponga que el polinomio de grado $m$ tiene raíces $x_1,x_2,...,x_m$: $$f(x)=a_0x^m+a_1x^{m-1}+\cdots +a_m=a_0(x-x_1)(x-x_2)\cdots (x-x_m).$$ Entonces: $$f(x^n)=a_0(x^n-x_1)(x^n-x_2)\cdots (x^n-x_m).$$ Desde $f(1)=f(1^n)$,$x-1|f(x^n) \Rightarrow x-1|f(x)$. Esto implica que al menos una raíz de $f(x)$$1$, por lo tanto $f(x^n)$ tienen un factor de $(x^n-1)$.