Demostrar que $a-b=b-a\Rightarrow a=b$ sin utilizar las propiedades de la multiplicación.

Question

Ayer mi profesor de Cálculo de Honor introdujo cuatro postulados básicos sobre los números (reales) y la operación $+$ :

(P1) $(a+b)+c=a+(b+c), \forall a,b,c.$

(P2) $\exists 0:a+0=0+a=a, \forall a.$

(P3) $\forall a,\exists (-a): a+(-a)=(-a)+a=0.$

(P4) $a+b=b+a, \forall a,b.$

Y por supuesto, podemos escribir $a + (-b) = a-b$ . Entonces propuso un reto, que consistía en demostrar que $$a-b=b-a\iff a=b$$ utilizando sólo estas cuatro propiedades básicas. El $(\Leftarrow )$ es extremadamente fácil y podemos demostrarlo usando sólo (P3) pero estoy luchando por probar $(\Rightarrow )$ y estoy empezando a pensar que no es posible en absoluto.

Mi pregunta es cómo probar $(\Rightarrow )$ o cómo demostrar que la prueba $(\Rightarrow )$ no es posible, utilizando sólo (P1) , (P2) , (P3) , (P4) ?

Answer 1

De hecho, es imposible demostrar ese resultado utilizando sólo la información proporcionada.

Para demostrar que esto es imposible, podemos construir un sistema que obedezca los postulados, pero que no satisfacer la declaración proporcionada. En particular, podemos considerar el siguiente sistema:

• Los únicos números son $0$ y $1$
• $1+0=0+1=1$
• $0+0=1+1=0$ (así, $a = -a$ para $a = 0,1$ )

Ahora, demuestre que $a = 0$ y $b = 1$ satisfacer $(a-b) = (b-a)$ pero $a \neq b$ .

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Lo que puede decir (una vez que se permite la multiplicación por enteros) es que $$ a - b = b - a \iff 2(a-b) = (a-b) + (a-b) = 0 $$ en nuestro sistema, sin embargo, multiplicar cualquier cosa por $2$ hace que sea cero.

Answer 2

Tienes razón, no se puede sólo a partir de esos axiomas, y aquí está la razón.

Considere $A=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ . Entonces $1-0=1=0-1$ . Pero $0 \neq 1$ .

Pero se puede demostrar que esto es cierto si $2 \neq 0$ y su anillo es un dominio integral, donde $2:=1+1$ . De hecho,

$a-b=b-a \implies a=b-a+b \implies 0=b-a+b-a \implies 0=2b-2a \implies 0=2(b-a) \implies b-a=0 \implies b=a. $