¿Son dos subconjuntos conexos abiertos cualesquiera de $\Bbb{R}^n$ ¿homeomórfico?

Question

¿Son dos subconjuntos abiertos y conexos cualesquiera de $\Bbb{R}^n$ ¿homeomórfico? Esto parece intuitivamente cierto.

Answer 1

1 $\neq$ 0 $\neq$ 8

(Piense que son subconjuntos abiertos del plano. El conjunto está formado por el área coloreada de negro. Elimina el límite infinitamente fino)

Answer 2

En $n>1$ un anillo abierto $$\{x\in\mathbb{R}^n\mid a<|x|<b\},\quad 0<a<b$$ y un balón abierto $$\{x\in\mathbb{R}^n\mid |x|<r\},\quad 0<r$$ son subconjuntos conexos abiertos de $\mathbb{R}^n$ que no son homeomórficas.

En $n=1$ o $0$ es cierto que cualquier subconjunto conexo abierto de $\mathbb{R}^n$ son homeomórficas. Esto se debe a que cualquier subconjunto conexo abierto de $\mathbb{R}$ es un intervalo abierto, y $\mathbb{R}^0$ es sólo un punto.

Answer 3

¡No! Por ejemplo $\rm B(0, 2)$ no es homeomorfo a $\rm B(0,2) \backslash \rm \overline{B(0,1)}$ .