La divergencia de un tensor con respecto a la de Levi-Civita de conexión

Question

En una de Riemann colector $\mathcal{S}$ con métrica $\boldsymbol{g}$, dada una tabla de $\{x^a\}$, es bastante fácil demostrar que la divergencia de un campo vectorial $\boldsymbol{w} : \mathcal{S} \to T\mathcal{S}$ está dado por $$ \mathrm{div}\boldsymbol{w} = w^a{}_{|a} = \frac{1}{\sqrt{\det[g_{mn}]}} \frac{\partial}{\partial x^a} \left[ \sqrt{\det[g_{mn}]} \, w^a \right], $$ donde $[g_{mn}]$ es la representación de la matriz de $\boldsymbol{g}$ en el gráfico de $\{x^a\}$, y la barra vertical en ${}_{|a}$ denota la derivada covariante con respecto a la de Levi-Civita de conexión inducida por $\boldsymbol{g}$.

Me pregunto si hay una expresión equivalente para la divergencia de un orden superior tensor de, digamos, un segundo orden de tensor $\boldsymbol{\sigma} : \mathcal{S} \to T\mathcal{S} \otimes T\mathcal{S}$, en cuyo caso la forma de componente es $(\mathrm{div}\boldsymbol{\sigma})^a = \sigma^{ab}{}_{|b}$, con la divergencia tomado, por ejemplo, en el último índice.

PS: En caso de que usted es curioso, sí, estoy buscando una expresión de la divergencia de la (totalmente contravariante) de Cauchy estrés.

Answer 1

Existe, de hecho, tal expresión, que ha escrito usted mismo: $\sigma^{ab}|_{b}$. Ahora es una cuestión de la escritura de los símbolos de Christoffel en la forma que desee, por un lado, la derivada covariante actúa sobre ambos índices $a,b$ así que la respuesta es:

$$ \sigma^{ab}|_{b} = \frac{1}{\sqrt{\det g}}\partial_b (\sqrt{\det g} \sigma^{ab}) + \Gamma^{a}_{bc}\sigma^{cb} $$ pero dudo que el segundo término se podría hacer en un total de derivados porque invloves todos los componentes del símbolo de Christoffel.