El determinante de una especial $0$-$1$ matriz

Question

Tengo una matriz, la cual es de orden impar y tiene exactamente dos en cada fila y columna. El resto de las entradas de cada fila/columna son cero. ¿Cuál será el factor determinante de esta matriz?

Creo que la respuesta es $\pm 2$. Mi pregunta es cómo es esta deriva?

Cualquier ayuda será apreciada. Gracias.

Answer 1

NOTA: originalmente creía que los valores posibles son $0$ o $\pm2$ y he tratado de corregir mi enfoque después de ver Jyrki la respuesta y comentarios. No pretendo que mi respuesta es sustancialmente diferente de la suya, pero he decidido mantenerlo, ya que aún podría ser útil para algunos usuarios.

El determinante puede ser $0$ o $(\pm2)^k$. Vamos a mostrar esto para todas las dimensiones (no sólo impar).

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Podemos mostrar esta por inducción en $n$ cualquier $n\times n)$-matriz.

Para $n=1,2,3$: Por la inspección.

Inductivo paso. Supongamos que la afirmación es verdadera para los más pequeños matrices y trabajamos ingenio $(n+1)\times(n+1)$-matriz de este formulario.

La primera fila $\vec a_1$ contiene dos queridos. Hay dos posibilidades.

a) Hay una fila $\vec a_i=\vec a_1$$i\ne 1$. Entonces el determinante es cero. (Desde dos filas de la matriz son idénticas.)

b) Buscar las filas $\vec a_j$ $\vec a_k$ contienen en las mismas columnas, donde $\vec a_1$ tiene de ellos. Primero supongamos que el segundo $1$'s en las filas $\vec a_j$ $\vec a_k$ se encuentran en diferentes columnas.

Esto significa que $\vec a_j+\vec a_k-\vec a_1$ es un vector que contiene exactamente dos $1$'s.

Tenemos que sustituir a uno de los tres filas con el vector $\vec a_j+\vec a_k-\vec a_1$. Esto podría cambiar el signo del determinante (dependiendo de la fila que se elija.)

Ahora obtenemos (después de la reordenación de filas y columnas, que sólo cambia el signo) de un bloque de la matriz. Uno de los bloques es una $(n-1)\times(n-1)$-matriz, la cual cumple con todos los supuestos. La matriz completa se parece a esto
$$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 & \dots & 0\\ 1 & 0 & 1 & \dots & 0\\ 0 & 0 & * & * & * \\ 0 & 0 & * & * & * \\ 0 & 0 & * & * & * \end{vmatrix}$$ donde las estrellas indican la submatriz el cumplimiento de hipótesis inductiva.

Si hacemos uso de Laplace de expansión con respecto a la primera fila, uno de los factores determinantes de la cuenta cero de la columna, por lo tanto es cero y el otro es el determinante de a $(2n-1)\times(2n-1)$ submatriz.

c) Ahora suponga que la fila $\vec a_j$ $\vec a_k$ tiene el segundo $1$'s en la misma columna. Esto significa que después de la reordenación de filas y columnas que obtener una de estas tres filas y las columnas correspondientes de la submatriz de la forma $\begin{pmatrix} 1&1&0\\ 1&0&1 \\ 0&1&1 \end{pmatrix}$. Esto significa que tenemos la matriz de la forma $$\begin{pmatrix} 1&1&0&0&\ldots&0&\\ 1&0&1&0&\ldots&0&\\ 0&1&1&0&\ldots&0&\\ 0&0&0&*&\ldots&*&\\ 0&0&0&*&\ldots&*&\\ 0&0&0&*&\ldots&*& \end{pmatrix}$$ donde la submatriz marcada por las estrellas tiene la forma de la hipótesis inductiva. Por lo que el factor determinante es el determinat de submatriz multiplicado por $\begin{vmatrix} 1&1&0\\ 1&0&1 \\ 0&1&1 \end{vmatrix}=-2$.

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Ejemplo:

$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} =1 \begin{vmatrix} 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} -1 \begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} $

(En el primer paso nos resta la primera fila de la tercera y añadió la segunda fila a la tercera, el segundo paso es la expansión de Laplace.)

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Nota: Otra forma de decir esto es decir, que por intercambio de filas y de columnas que va a obtener una de las dos situaciones:

$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & \ldots &\ldots \\\ 0 & 0 & \vdots & & \\ 0 & 0 & \vdots & & \end{vmatrix}$ o $ \begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} $

(NOTA: Como fue señalado por Jyrki, la matriz puede continuar después de que el bloque de este formulario. Se explica muy bien en su respuesta.)

I. e. ya sea una submatriz en la esquina superior izquierda hace determinante cero (y no tenemos que preocupamos por el resto de entradas) o de la matriz de forma especial, como la dada en el ejemplo anterior (y los determinantes de tales matrices puede ser calculada por diversos métodos).

Esta es esencialmente la misma cosa que he hecho en la perspectiva de la prueba anterior, pero tal vez un punto de vista diferente puede ser útil.

Answer 2

Como se describe en los ejemplos de J. M. la respuesta de Pablo comentario de Martin de la respuesta, es posible obtener cero y $\pm2$. Pero eso no es todo. Considere las matrices de la forma (gracias a Martin por señalar que necesito usar una extraña tamaño) $$ A=\pmatrix{P&0&0\cr0&P&0\cr0&0&P\cr}, $$ donde $P$ es la matriz de Pablo comentario $$ P=\pmatrix{1&1&0\cr1&0&1\cr0&1&1\cr}. $$ Obviamente $\det A=-8$, y está claro que podemos conseguir cualquier extraño poder de los dos en este camino. Creo que esto cubre todas las posibilidades: $0,\pm2^k$ por alguna extraña número natural $k>0$.

Edit: he Aquí una prueba de que $\pm 2^{2t+1}, t\in\mathbf{N},$ $0$ son todas las posibilidades. Haga lo siguiente: seleccione uno de los 1s en el número de fila $i_1$. Compruebe la ubicación de la otra 1 en la fila. Deje que el otro 1 en esa columna en la fila $i_2$. Siga haciendo esto horizontal-vertical de movimiento para definir un conjunto de filas $i_3,\ldots$. Tarde o temprano vuelve a número de fila $i_1$. Así, hemos identificado un subconjunto de filas $i_1,\ldots,i_k$ para algunos enteros $k>1$. Por el reordenamiento de las filas, podemos llevar estos a la parte superior. Por el reordenamiento de las columnas obtenemos un bloque buscando exactamente igual que las matrices en J. M. de la respuesta en la esquina superior izquierda. Que el bloque ha determinante $2$ o $0$ descrito por J. M. - de acuerdo a la paridad de $k$.

Podemos o no se han agotado todas las filas de la matriz. Si no hemos cubierto todos, podemos construir otro bloque en una manera similar. Al final vamos a tener un número impar de bloques con un número impar de filas. La paridad de la necesaria fila/columna permutaciones nos da la señal.

Answer 3

Supongo que para los efectos de esta respuesta que sus matrices tomar la forma

$$\begin{pmatrix}1&&&&1\\1&1&&&\\&1&1&&\\&&\ddots&\ddots&\\&&&1&1\end{pmatrix}=\mathbf H+\mathbf I$$

$\mathbf H$ is a Frobenius companion matrix, with characteristic polynomial $(-1)^n(x^n-1)$. The characteristic polynomial of $\mathbf H+\mathbf I$ is $p(x)=(-1)^n((x-1)^n-1)$ Thus, $\det(\mathbf H+\mathbf I)=p(0)=(-1)^n((-1)^n-1)=1-(-1)^n$.

The matrix itself is a special case of what is sometimes referred to as a "Forsythe matrix". It can be generated in MATLAB with the command gallery('forsythe',n,1,1).

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Consider also the matrices

$$\mathbf B=\begin{pmatrix}1&1&&&\\1&0&1&&\\&1&\ddots&\ddots&\\&&\ddots&0&1\\&&&1&1\end{pmatrix}$$

It can be shown (though the relationship of tridiagonal determinants and three-term difference equations) that the characteristic polynomials of these matrices are given by

$$\det(\mathbf B-\lambda\mathbf I)=(-1)^n (\lambda-2)\frac{\sin\left(n\arccos\frac{\lambda}{2}\right)}{\sin\left(\arccos\frac{\lambda}{2}\right)}=(-1)^n (\lambda-2)U_{n-1}\left(\frac{\lambda}{2}\right)$$

where $U_k(x)$ is the Chebyshev polynomial of the second kind. $\det\mathbf B$ is thus given by $2(-1)^{n+1}\sin\dfrac{n\pi}{2}$.

Answer 4

Sólo la matriz de $n\times n$ tienen un factor determinante. Yo no entiendo muy bien, pero si la matriz es igual a$\begin{vmatrix} a&b \\ c&d \end{vmatrix}$, entonces su determinante es $ad-cb$.

P. S. no sé cómo hacer que se vea como la matriz de aquí.