La construcción de un coresolution

Question

Estoy trabajando a través de la informática de la homotopy de Thom espectros de Kochman del libro. Deje $A$ ser un coalgebra sobre un campo $k$, y deje $M$ derecho $A$-comodule. Kochman construye un coresolution $F$ $M$ como sigue: Definir $F_0=M \otimes A$ $\eta_0=\psi_M$ (la confluencia de $A$$M$). Inductivamente, si $F_n$ $\eta_n: K_n \rightarrow F_n$ han sido definidos, definimos $K_{n+1}$ a ser el cokernel de $\eta_n$. A continuación, definimos $F_{n+1}=K_{n+1} \otimes A$ $\eta_{n+1}=\psi_{K_{n+1}}$ (la confluencia de $A$$K_{n+1}$).

A continuación, obtener corto exacta de las secuencias de $$0 \rightarrow K_n \rightarrow F_n \rightarrow K_{n+1} \rightarrow 0$$ Que podemos empalmar en una coresolution de $M$$F_n$. Además, este coresolution tiene la forma $F=F' \otimes A$, lo cual es importante más tarde, cuando Kochman demuestra un cambio de los anillos de la proposición.

Pregunta: En esta construcción, ¿por qué no $F_n=K_n \otimes A$ tiene que ser gratis?

$K_n$ es el cokernel de $\eta_n: K_n \rightarrow K_n \otimes A$, y no está claro para mí por qué este cokernel debe ser una suma directa de copias de $A$. No estoy muy cómodo trabajando con comodules y coresolutions, por lo que cualquier ayuda será muy apreciada.

Answer 1

Deje $V$ ser un espacio vectorial. A continuación, $V\otimes A$ es un comodule en virtud de la confluencia $V\otimes A\rightarrow (V\otimes A)\otimes A$ dado por tensoring $V$ con el comultiplication $A\rightarrow A\otimes A$. Si podemos demostrar que $V\otimes A$ es una suma directa de copias de la comodule $A$, y luego tomar las $V=K_n$ mostrará $F_n$ es gratis.

En primer lugar observamos que dado que V es un espacio vectorial, $V\cong \bigoplus_{\alpha} k $ donde $\alpha$ rangos de algunos de indexación conjunto. Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que la $V=\bigoplus_{\alpha}k$. A continuación, ya que el producto tensor conserva colimits en $Vect$, $\bigoplus_{\alpha} A\cong\bigoplus_\alpha k\otimes A\cong(\bigoplus_{\alpha}k)\otimes A=V\otimes A $ como espacios vectoriales. El lado izquierdo es un comodule a través del mapa de $\bigoplus_{\alpha}A\rightarrow\bigoplus_{\alpha} A\otimes A\cong (\bigoplus_{\alpha}A)\otimes A$ dado por comultiplying cada sumando.

Todo lo que queda es mostrar que la obvia mapa de $\bigoplus_\alpha A\rightarrow V\otimes A$ es un comodule homomorphism, por lo que será un comodule isomorfismo. En otras palabras, debemos comprobar la conmutatividad de una plaza de la participación de este mapa, es producto tensor con $A$, y el coactions en ambos comodules. Esto es fácil de ver por la aplicación de la connaturalidad de la evidente transformación de $\bigoplus_\alpha X\rightarrow (\bigoplus_\alpha k)\otimes X$ a la comultiplication $A\rightarrow A\otimes A$. El resultado conmutativa de la plaza será el que queremos desde la confluencia en cada comodule es inducida por comultiplication; la única dificultad es para comprobar que el mapa de $\bigoplus_\alpha A\otimes A\rightarrow (\bigoplus_\alpha k)\otimes A\otimes A$ procedente de la transformación natural coincide con la dada por tensoring el mapa de $\bigoplus_\alpha A\rightarrow V\otimes A$$A$. Sin embargo, es fácil comprobar tanto los mapas de acuerdo sobre los elementos de la base de $\bigoplus_\alpha A\otimes A$ inducida por una base de $A$.