Usar la definición de límite para probar..

Question

Pregunta: Vamos A $x_n = 1+\frac{5+n}{n^2}$. Usar la definición para demostrar que $$\lim_{x \to \infty} x_n = 1$$

Sé que a partir de la definición, que $|x_n-x|<\epsilon$, por lo que empezar con: $$|1+ \frac{5+n}{n^2} -1| = |\frac{5+n}{n^2}| <\epsilon$$

A continuación, hago un montón de álgebra y yo no puedo averiguar una solución de forma cerrada para $n$. ayuda!

Answer 1

Sugerencia: Para $n\ge 5,$ $\frac{5+n}{n^2}\le\frac{2n}{n^2}=\frac2n.$ Cómo de grande debe $n$ ser a fin de que $\frac2n<\epsilon$? Cómo puede usted asegurarse de que $n$ es este grande y $\ge 5$?