Asume cierto hasta que se demuestre falso. El curioso caso de la verdad vacua

Question

Dadas dos declaraciones, $P$$Q$, y el conectivo lógico, $\implies$, la tabla de verdad para $P \implies Q$ es:

$$\begin{array}{ c | c || c | } P & Q & P\Rightarrow Q \\ \hline \text T & \text T & \text T \\ \text T & \text F & \text F \\ \text F & \text T & \text T \\ \text F & \text F & \text T \end{array}$$

Las líneas uno y dos son bastante claros. ¿Qué es ambiguo es líneas tres y cuatro.

Una explicación de por qué $P \implies Q$ es cierto cuando se $P$ es falsa, proporcionada por Velleman va:

Deje $P(x)$ ser la declaración de $x>2$ y $Q(x)$, $x^2 > 4$. Cuando $x=3$, $P$ es cierto, y $Q(x) = 9$ $Q$ es cierto. Si $P(x) = 1$ $Q(x) = 1$ y ambas son falsas. Si $P(x) = -3$$Q(x) = 9$, por lo que la afirmación es verdadera.

Esta explicación fue bastante insatisfactoria para mí. Mirando Enderton, tenemos:

Por ejemplo, se podría traducir al inglés la frase, "Si usted está diciendo la verdad, entonces yo soy un mono tío," por la fórmula ($V \implies M$). Asignamos a esta fórmula el valor de $T$ cuando se decir mentiras. En la asignación del valor $T$, estamos sin duda no asignar ninguna conexión causal entre su veracidad y cualquier simio características de mis sobrinos o sobrinas. La frase en cuestión es una sentencia condicional. Se hace una afirmación acerca de mis familiares siempre una cierta condición que usted está diciendo la verdad - se cumple. Cada vez que la condición de falla, la declaración es vacuously verdadero.

A muy grandes rasgos, podemos pensar en una fórmula condicional ($p\implies q$) como la expresión de una promesa de que si se cumple una cierta condición (viz., que $p$ es cierto), entonces q es verdadera. Si la condición de $p$ resulta no ser cumplidas, entonces la promesa de stands ininterrumpida, independientemente de $q$.

A pesar de una mejora significativa sobre el Velleman explicación, todavía me siento incómodo con ella.

Realmente, parece que nos puede evocar tantos tontos contra-ejemplos, como nos gusta, tales como:

Si los cerdos pueden volar, entonces yo puedo caminar sobre el agua.

Aunque después de la anterior tabla de verdad, la implicación es que mi habilidad para caminar sobre el agua es verdadero.

Después de considerar esto, me parece que $\implies$ sólo tiene sentido cuando se $P$ es cierto, entonces podemos ver en relación a $Q$. Sin embargo, si $P$ es falso, entonces en realidad sabemos nada acerca de la relación entre el$P$$Q$. Esto daría una tabla de verdad de:

$$\begin{array}{ c | c || c | } P & Q & P\Rightarrow Q \\ \hline \text T & \text T & \text T \\ \text T & \text F & \text F \\ \text F & \text T & \text ? \\ \text F & \text F & \text ? \end{array}$$

donde el $?$ indica que dado $P$ nosotros en realidad no sabemos nada acerca de $ \implies $.

Por lo tanto. una manera de aclarar esto sería asumir que $? = T$. Así, el vacío de la verdad es una "definición de conveniencia" en un sentido.

El de arriba es mi opinión sobre el asunto.

Podría alguien aclarar las lógicas condicionales conectivo?

Answer 1

Uno puede, correctamente, asignar el valor de verdad de verdad de la declaración de $P\implies Q$ siempre $P$ es falso, o cuando $Q$ es cierto. $P\implies Q\,$ es falso si y sólo si ambas $P$ es verdad y $Q$ es falso. Que cubre todos los casos. Así que podemos decir que el $P\implies Q$ es cierto, a menos que demuestre la falsedad", por lo que quiero decir:

$P \implies Q$ es verdadera si y sólo si es que no el caso de que ambos $P$ es verdad y $Q$ es falso.

Lo que también podemos decir es que en la lógica clásica y en matemáticas, es un error atribuir cualquier tipo de relación causal entre el $P$ $Q$ cuando la escritura o lectura de una implicación $P\implies Q$. Dicho de otra manera, $P\implies Q$, por sí misma, no implica ninguna relación de causalidad entre la $P$$Q$: se define a transmitir nada más y nada menos, que se transmite por la instrucción: $\;\lnot P \lor Q$, o si se prefiere, se nos dice nada más (y nada menos) que lo que se transmite a través de la instrucción: $\;\lnot(P \land \lnot Q)$.

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Su preocupación no es trivial, ni está solo en ser "molestado" por que la falta de algunos de los más fuertes de la relación entre el$P$$Q$. Hay lógicas, tales como la relevancia de la lógica que tienen como objetivo la captura de los aspectos de la implicación que son ignorados por la "implicación material" operador en el clásico de la verdad lógica funcional, que requieren algún tipo de relevancia entre el antecedente y el condicional de una verdadera implicación. Ver también el artículo de Wikipedia titulado: Paradojas de la implicación material para más información sobre "alternativo" no clásica de la lógica.

Answer 2

"... el vacío de la verdad es una "definición de conveniencia" en un sentido."? No, no la mera conveniencia. Hay fuertes presiones que empujan a hacer de esta elección de la verdad-valores en las líneas 3 y 4 de la verdad-tabla para el condicional. Aquí está uno que otros que no he mencionado.

Una cosa matemáticos necesita ser muy claro sobre el uso de declaraciones de carácter general y, especialmente, las declaraciones de varios generalidad – usted sabe el tipo de cosa, por ejemplo, la definición de continuidad que comienza para cualquier $\epsilon$ ... hay un $\delta$ ... Y el cuantificador de la variable de la notación sirve matemáticos brillantemente al regimiento de las declaraciones de varios generalidad y hacerlos totalmente clara y transparente.

Cuantificadores de la materia para los matemáticos, entonces: eso es uncontentious. OK, así que ahora piense restringido cuantificadores que hablar sólo algunos de un dominio (por ejemplo, hablar no todos los números, pero casi todo el incluso). ¿Cómo podríamos representar Goldbach es una Conjetura, por ejemplo? Como primer paso, se podría escribir

$(\forall n \in \mathbb{N})$(si $n$ es par y mayor que 2, entonces el $n$ es la suma de dos números primos)

Restringimos el cuantificador aquí mediante el uso de un condicional. Así que ahora piensa en la incrustados condicional aquí. Lo que si $n$ es impar, por lo que el antecedente del condicional es falso??? Si decimos que esta instancia de la condicional carece de valor de verdad, o puede ser falsa, entonces la cuantificación hubiera no son verdaderas instancias y así no sería verdad! Pero, por supuesto, no se puede refutar Goldbach la Conjetura mirando los números impares!! Por lo tanto, si la cuantificado condicional es, de hecho, a salir cierto cuando Goldbach es la adecuada, entonces tendremos que decir que la irrelevante instancias de la condicional con antecedente falso salir true de forma predeterminada. En otras palabras, el incrustados condicional tendrá que ser tratado como un material condicional.

Así: para poner un poco tendentiously y más brevemente, si los matemáticos de tratar muy bien con las expresiones de la generalidad mediante el cuantificador de la variable de la notación de ellos han llegado a conocer y amar, van a tener que acostumbrarse a utilizar el material de las oraciones condicionales.

Answer 3

Se puede interpretar $P \Rightarrow Q$ con el significado de "siempre he escrito $P$ abajo en una prueba, me posteriormente se puede escribir $Q$ abajo en una prueba." (En otras palabras, estamos definiendo implicación como "la cosa que satisface modus ponens.") Ciertamente, siempre se puede escribir una tautología en una prueba, por lo $Q$ siempre puede ser $T$. Del mismo modo, si usted escribe una declaración falsa en una prueba, entonces usted puede probar cualquier cosa, por lo $P$ siempre puede ser $F$. La única cosa que no puedes hacer es empezar con declaraciones verdaderas y falsas declaraciones, por lo $P$ puede no ser $T$ si $Q$$F$.

Answer 4

Hay muchas buenas respuestas aquí, pero creo que vale la pena la dirección de su reclamación directamente. El hecho de que la implicación $P\implies Q$ es cierto no significa que el consecuente $Q$ es cierto.

Estado:

Realmente, parece que nos puede evocar tantos tontos contra-ejemplos, como nos gusta, tales como:

Si los cerdos pueden volar, lo que yo puedo caminar sobre el agua.

Aunque después de la anterior tabla de verdad, la implicación es que mi capacidad de caminar sobre el agua es verdadero.

Sin embargo, las dos líneas relevantes en la tabla de verdad (donde $P$ es falso) son:

$$\begin{array}{ c | c || c | } P & Q & P\Rightarrow Q \\ \hline \text F & \text T & \text T \\ \text F & \text F & \text T \end{array}$$

Una interpretación clara de esto sería "si la implicación es verdadera y el antecedente es flase, entonces el consecuente puede ser verdad o puede ser flase, es decir, no sabemos."

Answer 5

Su cita de Velleman, tal y como está, es irremediablemente confuso y sin sentido; así que tienes toda la razón en la búsqueda de "muy insatisfactorio".

En matemáticas, es posible obtener de manera constructiva cualquier declaración, verdadero o falso, de una declaración falsa. Por ejemplo, de "$2+2=5$", restando $4$ de cada lado, se "$0=1$", desde el cual es bastante sencillo para derivar bastante bien cualquier declaración que usted desea. Fuera de las matemáticas, una afirmación como "Si los cerdos pueden volar, luego de Elvis Presley es el presidente de los Estados unidos" nunca puede ser demostrado ser falso, porque para ello sería necesario encontrar un vuelo de cerdo, que nunca va a suceder. Podemos poner estas declaraciones en la categoría "infalsificable" en la distinción de "true", pero en general, nada malo va a pasar si agrupamos estas dos categorías. La medida en que uno está preparado para identificar el infalsificable con la realidad es en gran medida una cuestión filosófica gusto.