Si $X_{1}$ $X_{2}$ es positiva definida matrices, cómo mostrar que $\left\Vert X_{1}-X_{2}\right\Vert \le\left\Vert X_{1}+X_{2}\right\Vert$ para el espectro de la norma? y ¿qué hay de la central nuclear de norma? Gracias de antemano.
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Chris Ballance
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La norma espectral de un Hermitian matriz $X$ puede ser reescrita como $\|X\|=\max_{\|u\|=1}|u^\ast Xu|$ (ejercicio). Ahora para cualquier $\|u\|=1$, $-u^\ast (X_1+X_2)u < u^\ast (X_1-X_2)u < u^\ast (X_1+X_2)u$ porque $X_1,X_2$ es positiva definida. Por lo tanto, su desigualdad se cumple.
Edit: El OP ha editado la pregunta y pedir, además, que si la igualdad se cumple para la nuclear norma (la traza de la norma). La respuesta es sí. Esto se desprende de la polarización de la identidad $$ \|X_1+X_2\|^2-\|X_1-X_2\|^2 = 4\operatorname{tr}\,\left\{X_1X_2\right\} = 4\operatorname{tr}\,\left\{X_1^{1/2}X_2X_1^{1/2}\right\}\ge0. $$
tooshel
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Esta respuesta sólo responde a la primera pregunta. Lo hace de una manera que puede ser innecesariamente complicados para su gusto.
Si $A$ $B$ son Hermitian matrices, vamos a $A\leq B$ significa que $B-A$ es positivo semidefinite. Un Hermitian matriz es positiva semidefinite si y sólo si todos sus autovalores son no negativos, y la norma espectral de un Hermitian de la matriz es el máximo de los valores absolutos de sus autovalores.
Entonces $$-\|X_2\|I\leq -X_2\leq X_1-X_2\leq X_1\leq \|X_1\|I.$$ This implies that all of the eigenvalues of $X_1-X_2$ lie in the interval $[-\|X_2\|,\|X_1\|]$, which implies that $\|X_1-X_2\|\leq \max\{\|X_1,\|,\|X_2\|\}$.
Por otro lado, $0\leq X_1\leq X_1+X_2$ implica que el $\|X_1\|\leq\|X_1+X_2\|$, y de manera similar a $\|X_2\|\leq \|X_1+X_2\|$, lo $\max\{\|X_1\|,\|X_2\|\}\leq \|X_1+X_2\|$.
