Suponga $\emptyset\neq V\subseteq U\subseteq\mathbb{R}^n$ están abiertos y conjuntos conectados de modo que $U\setminus\overline{V}$ está conectado así. Dado cualquier punto de $x\in U$, hay siempre conectado a un conjunto abierto $W\subseteq U$, de modo que $\{x\}\cup V\subseteq W$ $U\setminus\overline{W}$ está conectado? En otras palabras, puede $V$ extenderse a la conexión de un conjunto abierto que contiene a un punto dado, de modo que el complemento de la clausura del conjunto extendido aún está conectado?
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studiosus
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Hay dos casos a considerar:
$n\ge 2$. Observar que en este caso, para cada abierto conectado set $S\subset R^n$ cualquier $a\in A$ y cualquier suficientemente pequeño $r\ge 0$, el complemento de la bola cerrada $$ A\setminus \overline{B(a, r)} $$ todavía está conectado. Ahora, si $V$ es denso en $U$, entonces la única significativa respuesta es tomar $W=U$ (para cualquier elección de $x$) y, a continuación, $U\setminus \bar W$ $W$ están conectados (el primero está vacía de curso). Si $V$ no es denso en $U$, podemos hacer un poco mejor que este: El subconjunto $U\setminus \{x\}\cup \bar V$ es abierto y no vacío. Elija cualquier punto de $a$ en este conjunto complementario y dejar $$ W= U \setminus \overline{B(a, r)} $$ donde $r>0$ es lo suficientemente pequeño. Entonces $$ U\setminus \bar W = B(a, r) $$
(la pelota) está conectado y no vacío y $W$ también está conectado por el anterior comentario.$n=1$ (Voy a dejar fuera el caso $n=0$). A continuación, tanto en $U$ $V$ son intervalos de un se puede tomar $W$ a ser el más pequeño intervalo abierto que contiene a$V$$x$.
user87690
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Tenga en cuenta que es suficiente para demostrar esto sólo para $x ∈ ∂V ∩ U$. Considere la posibilidad de $A := \{x ∈ U: ∃W ⊆ U \text{ connected, } \{x\} ∪ V ⊆ W, U \setminus \overline{W} \text{ connected}\}$ Esta es, obviamente, abrir subconjunto de $U$. Si también es cerrado, entonces es toda la $U$.
LumenAlbum
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En primer lugar, trivial solución es $W:=U$ (ya que el conjunto vacío $U\setminus \bar V$ está conectado).
Segundo, si usted desea tener $U\setminus \bar W$ no vacío, no hay todavía trivial solución: obviamente agregar una suposición $U\setminus \bar V \neq \emptyset$, desde de lo contrario, la afirmación es incorrecta. Ahora $O:=U\setminus \bar V$ no está vacía conjunto abierto, necesariamente infinita, de modo que podemos elegir un punto de $y\in O \setminus \{x\}$. Ahora si $r:=\operatorname{dist}(y, V\cup \{x\} \cup (\mathbb R^n \setminus U)) $$W=U \setminus \bar B(y,r/2)$, a continuación, $U\setminus \bar W = \bar B(y,r/2)$ es no vacío y conectado según se requiera.
Puede ser que usted quiera algunas más propiedades en $U$, para lo cual puedo añadir algunas pruebas, a las que se podría añadir más para obtener sus propiedades. Puede ser que usted piense acerca de $W$ ser simplemente conectado siempre a $V$ es simplemente conectado o similares.
Ofrezco dos pruebas además de los dos anteriores.
El primero es corto pero un poco abstracto. Deja $$ A:=\{ x \U : \existe W_x \subconjunto de U, W_x \text{abierto, conectado}, U\setminus \bar W_x \text{conectado} \} $$ A continuación,$V\subset A$, ya que para cualquier $x\in V$, $W_x:=V$ es una buena opción. Por lo tanto $A$ no está vacía.
$A$ está abierto en $U$ ya que si $x\in A \subset U$, $W_x$ es como en la definición de $A$ y $B(x,2r) \subset U$, $r>0$, a continuación, para cada $y\in B(x,r/3)\cap U$, dejamos $L_y$ ser el más corto segmento que conecta $y$$W_x$. Desde $x\in W_x$, la longitud de $L_y$ es menos de $r/3$$L_y\subset B(x,2r/3)$. Dejamos $W^*_y$ ser la unión de $W_x$ e las $r/3$-barrio de $L_x$. Deje $W_y$ ser la unión de $W^*_y$ y cada componente $U\setminus \bar W^*_y$ que está contenida en $B(x,r)$. (Lo siento, esto no es muy elegante.). Por lo tanto $y\in A$$B(x,r/3)\cap U\subset A$, mostrando que el $A$ está abierto en $U$.
$A$ también está cerrado en $U$: si $y\in U \cap \bar A$, luego elegimos $r>0$ tal que $B(y,2r) \subset U$ y $x\in A$, $\| x-y \| < r/3$. Agregar el segmento de $xy$ e su $r/3$-barrio de a $W_x$, junto con toda la mala calidad de los componentes de la misma manera como en el párrafo anterior, se obtiene un conjunto $W_y$ que muestra que $y$ pertenece a $A$. Por lo tanto $A$ es cerrado en $U$.
Desde $U$ está conectado, y $A$ es no vacío, y tanto cerrado abierto en $U$, $A=U$ que es lo que iba a ser probado.
La última prueba será más fácil de entender, pero no voy a poner mucho los detalles, dejando muy superficiales.
El caso de $V=\emptyset$ es fácil poner una pequeña pelota en el punto dado $x$). Asumimos $V$ no está vacía.
Deje $x\in U$, y elegir cualquier punto de $y$$V$. Recordemos que abra conjunto conectado a $U$ $\mathbb R^n$ es también la ruta de acceso conectado, y para cada $x, y \in U$, hay un camino que consta de un número finito de segmentos. Además de los segmentos en las rutas pueden ser disjuntos, con la obvia excepción de los extremos de 'consecutivos de segmentos. Por lo tanto vamos a $p$ ser una ruta de acceso de la conexión de $x$$y$. Deje $z$ ser el punto en $p$ cual es el primer punto que se encuentra en $\bar V$ es que partimos de $x$$y$. Deje $q$ ser parte de la $p$ que se conecta $x$ a $z$. $q$ se compone de un número finito de segmentos, todos ellos con la excepción de la última no se cruzan $\bar V$. Para cada uno de los segmentos añadimos un pequeño barrio que no se intersectan 1. $\bar V$ 2. los cierres de los barrios de otros segmentos, con la excepción de los segmentos consecutivos. También vamos a añadir un barrio de el segmento de $q$ que contiene $z$, y resolver de alguna manera el problema que puede ser creado por $V$ tener posiblemente mal estado cerca de $z$ (ver la mala calidad de los componentes en la prueba anterior.) De esta forma obtenemos $W$.
Espero que esto le ayuda a comprender su propia pregunta correctamente así como la forma de las pruebas.
