Desigualdad con $\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}+\cdots+\frac{1}{2n}$

Question

Inspirado por esta pregunta reciente sugiero esto.

Dejemos que $n=2,3,4, \ldots .$ Entonces $$ \frac{7}{12} < \cfrac 1 {1 + \cfrac {1^2} {1 + \cfrac {2^2} {\ddots + \cfrac \vdots { 1 + \, {n^2} \,}}}} \leq \frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}+\cdots+\frac{1}{2n} \tag1 $$ ¿Podría probar $(1)$ ?

Answer 1

He aquí un método de fuerza bruta para demostrar la primera desigualdad. Veremos los cálculos para $n=2,3,4,5$ y eso será suficiente para demostrar para el general $n$ . Aquí va:

$n=2$

$$\frac{7}{12} \leq \cfrac{1}{1+\cfrac{1^2}{1 + 2^2}} \iff \frac{12}{7} \geq 1+\cfrac{1^2}{1 + 2^2} \iff \frac{5}{7} \geq \cfrac{1^2}{1 + 2^2}$$

lo cual es cierto. Para $n=3$ , tomaremos los cálculos a partir de aquí para obtener $$ \frac{5}{7} \geq \cfrac{1^2}{1 + \cfrac{2^2}{1+3^2}} \iff \frac{7}{5} \leq 1 + \cfrac{2^2}{1+3^2} \iff \frac{2}{5} \leq \cfrac{2^2}{1+3^2} $$ lo que vuelve a ser cierto. Continuando por $n=4$ $$ \frac{2}{5} \leq \cfrac{2^2}{1+ \cfrac{3^2}{1+4^2}} \iff 10 \geq 1+ \cfrac{3^2}{1+4^2} \iff 1 \geq \cfrac{1}{1+4^2} $$ lo cual es cierto. Continuando por $n=5$ tenemos

$$ 1 \geq \cfrac{1}{1+ \cfrac{4^2}{1+5^2}} \iff 1 \leq 1+ \frac{4^2}{1+5^2} \iff 0 \leq \frac{4^2}{1+5^2} $$ lo cual es cierto.

Para $n\geq 6$ la condición equivalente será simplemente $$ 0 \leq \cfrac{4^2}{1+ \cfrac{5^2}{1+ \cfrac{6^2}{1+ ...}}} $$

lo cual es, por supuesto, cierto. Estos cálculos no son reveladores, pero a veces me parecen simpáticos.

Answer 2

El término medio es un fracción continua generalizada con $\{a_1,a_2,\ldots\}=\{1,1,2^2,3^2,\ldots\}$ y $\{b_0,b_1,\ldots\}=\{0,1,1,1,\ldots\}$ .

La relación de recurrencia para el numerador y el denominador de los convergentes da

$$\begin{align} x_n&=\frac{A_n}{B_n}\\ &=\frac{\mbox{[A024167](https://oeis.org/A024167)}}{n!}\\ &=\frac{n!\left(1-1/2+\frac13-\cdots\pm\frac1n\right)}{n!}\\ &=1-1/2+\frac13-\cdots\pm\frac1n\\ &\to\ln2\\ &\approx0.693147\ldots>\frac7{12} \end{align}$$

En cuanto al lado derecho, $$\begin{align} \frac{1}{n}+\cdots+\frac{1}{2n}&=\left(1+\cdots+\frac{1}{2n}\right)-\left(1+\cdots+\frac{1}{n-1}\right)\\ &\sim\ln(2n)-\ln(n)\\ &=\ln(2) \end{align}$$

Por lo tanto, para un tamaño lo suficientemente grande $n$ El centro y la derecha están muy cerca.

Pero se nos pide que demostremos que $$\frac{7}{12}<1-\frac12+\frac13-\cdots+(-1)^{n-1}\frac1n\leq \frac{1}{n}+\cdots+\frac{1}{2n}$$

La primera desigualdad es cierta para $n\geq4$ desde $1-\frac12+\frac13-\frac14=\frac7{12}$ y el resto de los bits de la secuencia son un positivo neto.

El lado derecho converge a $\ln(2)$ desde arriba, mientras que el medio converge a $\ln(2)$ alternando entre arriba y abajo. Así que basta con demostrar la segunda desigualdad para impar $n$ . Así que continuamos tratando de mostrar:

$$1-\frac12+\frac13-\cdots+\frac1{2n+1}\leq \frac{1}{2n+1}+\cdots+\frac{1}{4n+2}$$