La integración de la práctica de $\int \frac{\sqrt{25-y^2}}{y}dy$

Question

Necesito solucionar $\int \frac{\sqrt{25-y^2}}{y}dy$.

Yo pensaba originalmente IBP, pero que llevó a una muy grande y confuso problema de álgebra.

Entonces empecé a mirar el $\sqrt{25-y^2}$ y empecé a pensar en hacer un $u$-expansión, y dejando $u=\sin\theta$$du=\cos\theta d\theta$. Una vez que empecé a jugar un poco, la intuición de que estaba perdido.

Cualquier ayuda es muy apreciada.

Answer 1

Sustituciones trigonométricas no son necesarias. Deje $u^2 = 25 - y^2$, por lo que el $2u \, du = -2y \, dy$. A continuación, $$\begin{align*} \int \frac{\sqrt{25-y^2}}{y} \, dy &= - \int \frac{-y \sqrt{25-y^2}}{y^2} \, dy \\ &= - \int \frac{u \sqrt{u^2}}{25-u^2} \, du \\ &= \int \frac{u^2 - 25 + 25}{u^2 - 25} \, du \\ &= u + 25 \int \frac{du}{u^2 - 25} \\ &= u + \frac{5}{2} \int \left(\frac{1}{u-5} - \frac{1}{u+5} \,\right) du\end{align*}$ $ y el resto es obvio.

Answer 2

Deje $y=5 \sin u$, entonces usted tiene

\begin{eqnarray}{c} \int \frac{\sqrt{25-y^2}}{y}{\rm d}y &=& \int \frac{\sqrt{25-25\sin^2u}}{5\sin u}5\cos u\ {\rm d}{u} \\& =& \int \frac{\cos u}{\sin u}5\cos u\ {\rm d}{u} \\& =& 5\int \frac{\cos^2 u}{\sin u}\ {\rm d}{u} \\& =& 5\int \frac{1-\sin^2 u}{\sin u}\ {\rm d}{u} \\& =& 5\int \frac{1}{\sin u}-\sin u\ {\rm d}{u} \\& =& 5\int \csc u-\sin u\ {\rm d}{u} \\& =& \ -5\ln \left |\csc u + \cot u\right | - 5\cos u + C. \end{eqnarray} Ahora sustituye $u$$\arcsin y$.