dos conjuntos cualesquiera de $n+2$ puntos son proyectivamente equivalentes en $\mathbb{P}^n$

Question

El problema: Dos conjuntos cualesquiera de $n+2$ puntos en posición general en $\mathbb{P}^n$ son proyectivamente equivalentes.

Al pensar en este problema, me resulta natural reducirlo a consideraciones de álgebra lineal. Así que tengo $n+2$ líneas en $k^{n+1}$ abarcados por los vectores $b_1,\dots,b_{n+2}$ y quiero mapearlos con una transformación lineal a otro conjunto de $n+2$ las líneas atravesadas por los vectores $c_1,\dots,c_{n+2}$ . Basta con mapear cada vector $b_i$ a $c_i$ . Si tuviéramos $n+1$ líneas (en lugar de $n+2$ ), entonces esto es posible mediante argumentos de álgebra lineal. Pero no consigo ver cómo funcionaría esto para $n+2$ líneas. Agradecería una respuesta que pusiera de manifiesto por qué pensar en términos de álgebra lineal no funciona aquí.

Answer 1

Dejemos que $(b_{i})_{i=1}^{n+2}$ sea un conjunto ordenado de vectores en $k^{n+1}$ que representa un conjunto de puntos en posición general en $\mathbf{P}^{n}$ . En particular, $(b_{i})_{i=1}^{n+1}$ es linealmente independiente, y $b_{n+2}$ no puede expresarse como una combinación lineal de cualquier adecuado subconjunto de $(b_{i})_{i=1}^{n+1}$ . (Geométricamente, $b_{n+2}$ no se encuentra en un espacio lineal abarcado por $n$ o menos de la $(b_{i})_{i=1}^{n+1}$ .)

Dejemos que $(e_{i})_{i=1}^{n+1}$ sean los "vectores base estándar" en $k^{n+1}$ y $e_{n+2} = e_{1} + \dots + e_{n+1}$ . Para mostrar dos conjuntos de $(n + 2)$ puntos en posición general en $\mathbf{P}^{n}$ son proyectivamente equivalentes, basta con demostrar que $\bigl([b_{i}]\bigr)_{i=1}^{n+2}$ es proyectivamente equivalente a $\bigl([e_{i}]\bigr)_{i=1}^{n+2}$ .

La transformación lineal (única e invertible) $T:k^{n+1} \to k^{n+1}$ llevando $b_{i}$ a $e_{i}$ para $1 \leq i \leq n+1$ lleva $b_{n+2}$ a algún vector $b_{n+2}'$ con todas las coordenadas distintas de cero . (Por lo demás, $b_{n+2}$ sería una combinación lineal de algún subconjunto adecuado de $(b_{i})_{i=1}^{n+1}$ . En otras palabras, el $j$ hiperplano de coordenadas $H_{j} = \{x_{j} = 0\} \subset \mathbf{P}^{n}$ ya contiene $n$ puntos, es decir, el $[e_{i}]$ avec $i \neq j$ ya que ningún hiperplano proyectivo contiene más de $n$ puntos $[T(b_{i})]$ tenemos $[b_{n+2}'] \not\in H_{j}$ para todos $j$ .)

Siga $T$ con la transformación diagonal $D$ cuyo $i$ es el recíproco del $i$ coordenada de $b_{n+2}'$ , señalando que $D$ fija cada eje de coordenadas (es decir, mapea $[b_{i}]$ a $[e_{i}]$ para $1 \leq i \leq n + 1$ )y envía $b_{n+2}'$ a $e_{n+2}$ .

La forma elegante de decir esto es, la acción diagonal (multiplicativa) del "toro" $(k^{\times})^{n+1}$ es transitiva en el complemento de los hiperplanos de coordenadas en $k^{n+1}$ y fija los ejes de coordenadas (es decir, los puntos $[e_{i}]$ para $1 \leq i \leq n+1$ ).

Answer 2

Aquí es un argumento similar (Lemma 19.3.), donde los puntos están en posición general lineal.