Para su caracterización de las funciones convexas, se utiliza el hecho de que la línea recta es un optimizador de la desigualdad. Más precisamente, tratamos de resolver
$$ |xz| f(y) = |xy| f(z) + |yz|f(x) $$
donde $x,y,z$ son colineales. Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que las $x,y,z\in \mathbb{R}$. Escribir $z = y + \delta y$$x = y - \delta y$, y en un segundo orden de la expansión de Taylor obtenemos que
$$ f'' = 0 $$
y así, una condición necesaria es que el $f$ es lineal. (Estamos haciendo de la asunción de la diferenciabilidad etc.) A continuación, compruebe que todas las funciones lineales $f$ satisfacer esta condición. Y lo podemos utilizar como una parte superior de la envolvente de "convexidad" entre dos puntos.
Ahora vamos a intentar hacer lo mismo con el esférico convexidad. Tenemos
$$ \sin( 2 \delta y) f(y) = \sin (\delta y) f(y + \delta y) + \sin (\delta y) f(y - \delta y) $$
Tomando la expansión de Taylor a $O(\delta y^3)$ a ambos lados obtenemos
$$ \left[ 2 \delta y - \frac{8}{6} (\delta y)^3\right] f(y) =_{O(\delta y^3)} \left[ \delta y - \frac{1}{6} (\delta y)^3\right] \left[ 2 f(y) + f''(y) (\delta y)^2\right] $$
que se simplifica a
$$ -f(y) = f''(y) $$
o que $f(y) = A \sin (y + B)$. Comprobamos que estas funciones, de hecho, comprobar la hipótesis: si $z \geq y \geq x$, e $A = 1$ ya que la expresión es la escala invariante,
$$ \sin( z - x) \sin (y + B) \overset{?}{=} \sin( y - x) \sin (z + B) + \sin(z - y) \sin(x + B) $$
o
$$ \left( \sin z \cos x - \cos z \sin x \right) \left(\sin y \cos B + \cos y \sin B\right) \overset{?}{=} \left( \sin y \cos x - \cos y \sin x\right) \left( \sin z \cos B + \cos z \sin B\right) + \left( \sin z \cos y - \cos z \sin y\right) \left(\sin x \cos B + \cos x \sin B\right) $$
que uno puede comprobar simplemente para celebrar.
Por lo tanto, la interpretación de "esférico convexo" que es análoga a la caracterización de convexidad de la función es exactamente igual que el estándar convexo caso, excepto cuando se realiza la comparación con la línea recta a través de$(x,f(x))$$(z,f(z))$, que se compara contra la única función de $g(s) = A \sin(s + B)$ definido a lo largo de la línea geodésica conexión de $x$$z$, $s$ un arclength parametrisation, de tal manera que $g(s(x)) = f(x)$$g(s(z)) = f(z)$.
