Problemas no resueltos de la teoría de los números

Question

¿Cuáles son los ejemplos más interesantes de problemas no resueltos en teoría de números que puede entender un joven de 18 años?

Answer 1

El título de su pregunta es también el de un fantástico libro de Richard Guy. Consigue ese libro y nunca te quedarás sin buenos problemas en los que pensar.

Answer 2

Personalmente me decantaría por la conjetura de Goldbach:

Todo entero par mayor que 2 puede expresarse como la suma de dos primos.

La evolución reciente del tema es muy interesante. Hay un artículo muy reciente que reivindica la prueba de la conjetura débil de Goldbach:

http://arxiv.org/abs/1305.2897 http://arxiv.org/abs/1205.5252

Terrence Tao demostró en 2012 que "Todo número impar mayor que 1 es la suma de a lo sumo cinco primos". También mira esto: https://plus.google.com/114134834346472219368/posts/8qpSYNZFbzC

Answer 3

Un problema que me gusta especialmente es El problema de Broccard . Yo mismo investigué esto hace un tiempo y rompí el de Berndt&Galway $2000$ registro por un $100x$ con un ordenador ordinario y un código informático ordinario. Por supuesto que no es un resultado interesante porque no proporcioné mejores algoritmos o teoría, sólo $13$ -años de mejor tecnología.

Hay muchos Problemas no resueltos de la teoría de los números y a algunos de ellos no se les presta suficiente atención. ¡Pruébalo si quieres!

P.D. Y dar las gracias especialmente al tipo que implementó legendre() en el GMP biblioteca :)

Answer 4

Creo que casi todo lo que se hace en teoría de números es comprensible si se ha seguido la historia lo suficiente. Incluso el teorema más difícil de entender suele tener sentido en casos especiales si has entendido los grandes teoremas que le precedieron.

Pero sí, hay una gran cantidad de teoremas inmediatamente comprensibles en la teoría de números que han quedado sin resolver hasta ahora. Uno de los que aún no se ha mencionado es la conjetura de los primos gemelos que afirma que hay infinitos pares de primos que son $2$ aparte, como $(3,5),(5,7),(11,13),...$ .

También hay problemas que se han resuelto... asumiendo otros resultados que no se han demostrado. Mi favorito es el problema de los números congruentes. En él se pregunta qué números enteros positivos pueden ser áreas de triángulos en ángulo recto con lados racionales. Por ejemplo $(3,4,5)$ tiene área $5$ pero no existe ningún triángulo con área $1$ (no es obvio).

El estudio de este problema le conducirá a través de una rica área de la teoría de los números hasta la investigación actual sobre las curvas elípticas y las formas modulares. Como se ha mencionado anteriormente, este problema ha sido resuelto... suponiendo un resultado realmente interesante pero técnico llamado la conjetura Birch Swinnerton-Dyer, un problema extremadamente difícil que vale un millón de dólares para quien lo resuelva.