Estoy leyendo la Teoría de Galois para Principiantes por John Stillwell. Es una buena introducción, dando la esencia de la idea con un mínimo de álgebra de la complejidad.
Sin embargo, estoy un poco perdido en su Teorema 2 (los detalles están en la final).
La prueba de la intención de encontrar un homomorphism de $\texttt{Gal}(E/B)$, con kernel $\texttt{Gal}(E/B(\alpha))$, en un grupo abelian. Juan dice:
La obvia mapa con kernel $\texttt{Gal}(E/B(\alpha))$ es la restricción a $B(\alpha)$, $\lvert_{B(\alpha)}$, dado que, por definición, $$\sigma \en \texttt{Ga}(E/B(\alpha)) \Leftrightarrow \sigma \lvert_{B(\alpha)} \texttt{ es el mapa de identidad}.$$
¿Por qué la restricción a $B(\alpha)$ es un homomorphism de $\texttt{Gal}(E/B)$ a un grupo con kernel $\texttt{Gal}(E/B(\alpha))$? Lo que hace esta "restricción"?
Tratando de entender, que me estoy tomando $B = \mathbb Q$, $\alpha = \zeta$, $B(\alpha) =\mathbb Q(\zeta)$, $E = \mathbb Q (\zeta, \sqrt{2})$, donde $\zeta^5 = 1$.
Por lo $$\texttt{Gal}(E/B(\alpha)) = \texttt{Gal}(\mathbb Q(\zeta, \sqrt{2})/\mathbb Q(\zeta)), $$ en este ejemplo es
$\begin{array}{c|cc} \mathbb Q(\zeta, \sqrt{2}) & \sigma_1 & \sigma_2 \\ \hline \sqrt{2} & \sqrt{2} & -\sqrt{2} \\ -\sqrt{2} & -\sqrt{2} & \sqrt{2} \\ \zeta & \zeta & \zeta \\ \zeta^2 & \zeta^2 & \zeta^2 \\ \zeta^3 & \zeta^3 & \zeta^3 \\ \zeta^4 & \zeta^4 & \zeta^4, \end{array}$
así que es isomorfismo para $$S_2 = \{(1), (1,2)\}.$$
A continuación, $$\texttt{Gal}(E/B) = \texttt{Gal} (\mathbb Q(\zeta, \sqrt{2})/\mathbb Q),$$ en este ejemplo es
$\begin{array}{c|cccccccc} \mathbb Q(\zeta, \sqrt{2}) & \sigma_1 & \sigma_2 & \sigma_3 & \sigma_4 & \sigma_5 & \sigma_6 & \sigma_7 & \sigma_8 \\ \hline \sqrt{2} & \sqrt{2} & \sqrt{2} & \sqrt{2} & \sqrt{2} & -\sqrt{2} & -\sqrt{2} & -\sqrt{2} & -\sqrt{2}\\ -\sqrt{2} & -\sqrt{2} & -\sqrt{2} & -\sqrt{2} & -\sqrt{2} & \sqrt{2} & \sqrt{2} & \sqrt{2} & \sqrt{2}\\ \zeta & \zeta & \zeta^2 & \zeta^3 & \zeta^4 & \zeta & \zeta^2 & \zeta^3 & \zeta^4 \\ \zeta^2 & \zeta^2 & \zeta^4 & \zeta & \zeta^3 & \zeta^2 & \zeta^4 & \zeta & \zeta^3 \\ \zeta^3 & \zeta^3 & \zeta & \zeta^4 & \zeta^2 & \zeta^3 & \zeta & \zeta^4 & \zeta^2 \\ \zeta^4 & \zeta^4 & \zeta^3 & \zeta^2 & \zeta & \zeta^4 & \zeta^3 & \zeta^2 & \zeta, \end{array}$
así que es isomorfismo para $$\{(1), (3,4,5,6), (3,5,6,4), (3,6)(4,5), (1,2), (1,2)(3,4,5,6), (1,2)(3,5,6,4), (1,2)(3,6)(4,5) \}.$$
Mi conjetura es que, para que "la restricción a $B(\alpha)$" significa en realidad un subconjunto de a $\texttt{Gal} (E/B)$ que sólo los elementos de cambio en $B(\alpha)$, por lo que itcan ser definida como $$\Sigma := \{ \tau \in \texttt{Gal}(E/B) \lvert \tau(\beta) = \beta, \forall \beta \in E \setminus B(\alpha) \},$$ en este ejemplo
$\begin{array}{c|c} \mathbb Q(\zeta, \sqrt{2}) & A = f(\texttt{Gal}(\mathbb Q(\zeta, \sqrt{2})/\mathbb Q)) \\ \hline (1) & (1) \\ (1,2) & (1) \\ (3,4,6,5) & (3,4,6,5) \\ (1,2)(3,4,6,5) & (3,4,6,5) \\ (3,5,6,4) & (3,5,6,4) \\ (1,2)(3,5,6,4) & (3,5,6,4) \\ (3,6)(4,5) & (3,6)(4,5) \\ (1,2)(3,6)(4,5) & (3,6)(4,5) \end{array}$
Es mi entendimiento correcto?
-- Teorema 2 detalles:
Cualquier radical extensión de $F(\alpha_1, \dots, \alpha_k)$ es la unión de un ascendente de la torre de campos de $F=F_0 \subseteq F_1 \subseteq \cdots \subseteq F_k = F(\alpha_1, \dots, \alpha_k)$ donde cada $F_i = F_{i-1}(\alpha_i)$, $\alpha_i$ es el $p_i$-ésimo de la pudrición de un elemento en $F_i{i-1}$, $p_i$ es el primer, y $F_i$ no contiene $p_i$-th raíces de la unidad, no en $F_i{i-1}$ si $\alpha_i$ es en sí mismo un $p_i$-ésima raíz de la unidad.
Teorema 2. Si $E\supseteq B(\alpha) \supseteq B$ son campos con $\alpha^p \in B$ para algunos prime $p$, y si $B(\alpha)$ no contiene $p$th raíces de la unidad, no en $B$ menos que en sí es una $p$th raíz de la unidad, a continuación, $\texttt{Gal}(E/B(\alpha))$ es un subgrupo normal de $\texttt{Gal}(E/B)$ $\texttt{Gal}(E/B)/\texttt{Gal}(E/B(\alpha))$ es abelian.
Prueba: Por la homomorphism teorema para grupos, basta con encontrar un homomorphism de $\texttt{Gal}(E/B)$, con kernel $\texttt{Gal}(E/B(\alpha))$, en un grupo abelian (es decir, en un subgrupo de un grupo abelian, que por supuesto es también abelian). La obvia mapa con kernel $\texttt{Gal}(E/B(\alpha))$ es la restricción a $B(\alpha)$, $\lvert_{B(\alpha)}$, puesto que, por definición $$\sigma \in \texttt{Gal}(E/B(\alpha)) \Leftrightarrow \sigma \lvert_{B(\alpha)} \texttt{ is the identity map}.$$
El homomorphism de la propiedad, $$\sigma' \sigma \lvert_{B(\alpha)}=\sigma'\lvert_{B(\alpha)} \sigma\lvert_{B(\alpha)}, \forall \sigma', \sigma \in \texttt{Gal}(E/B),$$ es automática, siempre que $\sigma \lvert_{B(\alpha)}(b) \in B(\alpha)$ por cada $b \in B(\alpha)$, es decir, proporcionan $B(\alpha)$ es cerrado bajo cada una de las $\sigma \in \texttt{Gal}(E/B)$.
Desde $\sigma$ correcciones $B$, $\sigma \lvert_{B(\alpha)}$ está totalmente determinado por el valor de $\sigma(\alpha)$. Si $\alpha$ $p$th raíz de la unidad, a continuación, $$(\sigma(\alpha))^p = \sigma(\alpha^p) = \sigma(\zeta^p) = \sigma(1) = 1,$$ por lo tanto $\sigma(\alpha) = \zeta^i= \alpha^i \in B(\alpha)$, ya que cada una de las $p$th raíz de la unidad es algo de $\zeta^i$. Si $\alpha$ no es una raíz de la unidad, a continuación, $$ (\sigma(\alpha))^p = \sigma(\alpha^p) = \alpha^p \texttt{ since } \alpha^p \in B,$$ por lo tanto $\sigma(\alpha) = \zeta^ia$ algunos $p$th raíz de la unidad $\zeta$; y $\zeta \in B$ por hipótesis, por lo que un\texttt{Ga}en $\sigma(\alpha) \in B(\alpha)$. Por lo tanto $B(\alpha)$ es cerrado como sea necesario.
Esto también implica que $I_{B(\alpha)}$ mapas de $\texttt{Gal}(E/B)$ a $\texttt{Gal}(B(\alpha)/B)$, por lo que ahora queda comprobar que $\texttt{Gal}(B(\alpha)/B)$ es abelian. Si $\alpha$ es una raíz de la unidad a continuación, como hemos visto, cada una de las $\sigma \lvert_{B(\alpha)} \in \texttt{Gal}(B(\alpha)/B)$ es de la forma $\sigma_i$ donde $\sigma_i(\alpha) = \alpha^i$, por lo tanto $$\sigma_i\sigma_j(\alpha) = \sigma_i(\alpha^j) = \alpha^{ij} = \sigma_j\sigma_i(\alpha).$$ Del mismo modo, si $\alpha$ no es una raíz de la unidad, a continuación, cada una de las $\sigma \lvert_{B(\alpha)} \in \texttt{Gal}(B(\alpha)/B)$ es de la forma $\sigma_i$ donde $\sigma_i(\alpha) = \zeta^i\alpha$, por lo tanto $$\sigma_i\sigma_j(\alpha) = \sigma_i(\zeta^j\alpha) = \zeta^{i+j}\alpha = \sigma_j\sigma_i(\alpha)$$ desde $\zeta \in B$ y, por tanto, $\zeta$ es fijo. Por lo tanto, en ambos casos $\texttt{Gal}(B(\alpha)/B)$ es abelian.
