Polinomios invariantes bajo un grupo de acción (GIT oculto)

Question

Digamos que voy a empezar con el polinomio anillo en $n$ variables $R = \mathbb{Z}[x_1,...,x_n]$ (en el caso de que en la mano tenía $\mathbb{C}$ en lugar de $\mathbb{Z}$). Ahora el grupo simétrico $\mathfrak{S}_n$ hechos por permutación en la indeterminates. La sub-anillo de polinomios invariantes $R^{\mathfrak{S}_n}$ tiene una buena descripción (por generadores y relaciones) en términos de simétrica funciones.

¿Qué hago si sólo considerar la acción del grupo cíclico $Z_n$? ¿Alguien sabe si el anillo de $R^{Z_n}$ admite que una buena presentación? (en el caso de que en la mano tenía $\mathbb{C}[x_1,x_2,x_3]$ y la acción de la cíclico grupo $Z_3$. Tal vez en este caso podemos utilizar algunas de fórmula (suponiendo que no hay uno) para los grupos de la división de como semidirect productos?)

Answer 1

Las acciones de $S_n$ $\mathbb Z_n$ difieren en el sentido de que en el primer caso el cociente es suave (de nuevo es $\mathbb C^n$), mientras que en el segundo caso es singular. Esta es la razón por la que en el primer caso tenemos una bonita presentación, pero en la segunda no realmente. Por ejemplo, el número de generadores del cociente no puede ser menor que la dimensión de Zariski el espacio de la tangente a la singularidad en el cero de $\mathbb C^n/\mathbb Z_n$.

Todavía, en principio, la presentación puede ser proporcionada por tóricas de la geometría (http://www.cs.amherst.edu/~dac/toric.html) porque el cociente es el tóricas de la singularidad. Por ejemplo, en el caso de $\mathbb C^3/\mathbb Z_3$ vamos a cambiar las coordenadas para que $\mathbb Z_3$ está actuando como $w_0\to w_0$, $w_1\to \mu w_1$, $w_2\to \mu^2 w_2$ (aquí $\mu^3=1$). A continuación, puede escribir el conjunto mínimo de cuatro generadores:

$w_0, w_1^3, w_2^3, w_1w_2$, y una evidente relación $(w_1^3w_2^3)=(w_1w_2)^3$

El caso de $\mathbb C^n/\mathbb Z_n$ $n>3$ va a estar más involucrados, pero la idea es la misma aproximadamente. Primero elige las coordenadas en $\mathbb C^n$ $w para que la acción sea diagonal. A continuación, elegir el conjunto mínimo de monomials (en estas nuevas coordenadas) que son invariantes bajo la acción, y generar el conjunto de invariantes monomials (de grado positivo).

Considere la posibilidad de un caso más $n=4$, y eligió las coordenadas $w_i$, por lo que el $Z_4$ está actuando como $w_i\to \mu^iw_i$, $\mu^4=1$. El número de generadores es $7$ esta vez:

$w_0, w_1^4, w_3^4, w_2^2, w_1w_3, w_1^2w_2, w_3^2w_2$

Answer 2

Te recomiendo que leas que el capítulo de este libro http://www.springerlink.com/content/n7163w70l6472421/ algoritmos e invariantes. En particular, que muestra que se puede utilizar bases de Groebner para calcular los generadores para el anillo de invariantes bajo la acción de un grupo finito.

Answer 3

Por la teoría general de los invariantes de grupos finitos, existen $(n-1)!$polinomios homogéneos $u_1, \dots, u_p$ ($p=(n-1)!$) tal que cada elemento $f$ $R^{Z_n}$ puede ser escrito únicamente $f = u_1 g_1 + \cdots+ u_p g_p$, donde $g_1,\dots,g_p$ son funciones simétricas. No sé si se conoce una descripción explícita de $u_1,\dots,u_p$ % arbitrario $n$.

Answer 4

El número mínimo de invariantes necesaria para generar ${\mathbb Z}[x_1,...,x_n]^{{\mathbb Z}_n}$ ha sido considerado por varios autores, incluyendo Erdos, Dixmier y Kac. (véanse las referencias en [Juan C. Harris y David L. Wehlau Entero No Negativo Lineal de Congruencias, Indagationes Mathematicae 17 Nº 1 (2006) 37-44]. Se ve fácilmente que estar acotada abajo por el número de particiones de n, ${\mathcal P}(n)$. Dixmier producido una serie de documentos dando el comportamiento asintótico de este número como una función de la $n$. Los resultados en las anteriores Harris-Wehlau papel se completa mediante el resultado principal de [Pingzhi Yuan, En el índice de los mínimos de suma cero secuencias más finito cíclico grupos, Revista de Teoría Combinatoria, Serie a, 114 (2007) 1545-1551]. Estos dos trabajos se combinan para mostrar que el número homogéneo de los generadores de este anillo de invariantes de grado $k$ es exactamente $\phi(n){\mathcal P}(n-k)$ si $k \geq \lfloor n/2\rfloor + 2$ (aquí se $\phi$ es de Euler totient función). Sorprendentemente (al menos para mí) que se sabe mucho menos acerca de el número de generadores en grado menor.