Instrucciones equivalentes a la GCH

Question

La GCH es la declaración de que $\forall \kappa \geq \aleph_0 : 2^\kappa = \kappa^+$. Es decir, $\forall \alpha :2^{\aleph_\alpha}=\aleph_{\alpha+1}$.

Me dijeron que la generalización de la Hipótesis continua es equivalente a las siguientes identidades. Estoy curioso de la prueba, pero no tienen idea de cómo resolverlo.

$\sum_{\mu <\kappa}2^{\mu}=\kappa$.

$\kappa^{\text{cf}(\kappa)}=\kappa^+$ para cualquier infinitas $\kappa$.

Para ser claro en las definiciones de: $\kappa^+$ es un sucesor, el cardenal; $\text{cf}(\kappa)$ denota la cofinality de $\kappa$, que es el menos limitar ordinal $\theta$ corte que hay un aumento de la secuencia en el $\theta$ que es cofinal en $\kappa$.

Agradecería si alguien pudiera explicar estas pruebas.

Answer 1

El primero viene del hecho de que $$\sum_{i\in I}\lambda_i=\max\{|I|,\sup\{\lambda_i\mid i\in I\}\},$$ lo que significa que $\sum_{\mu<\kappa}2^\mu=\max\{\kappa,\sup\{2^\mu\mid\mu<\kappa\}\}$.

Ahora, dada cualquier arbitrario $\lambda$, vamos a $\kappa=\lambda^+$, fácilmente $2^\lambda\geq\kappa$. Pero lo anterior implica que $2^\lambda=\kappa=\lambda^+$. Por lo $\sf GCH$ mantiene. (Tenga en cuenta que para limitar los cardenales de la identidad sólo implica que ellos son fuertes límite de cardenales, pero no se que $\sf GCH$ mantiene por debajo de, o en, el cardenal).

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La segunda, viene del hecho de que $\kappa^{\operatorname{cf}(\kappa)}$ $\kappa^\kappa$ regular de los cardenales, que a su vez es igual a $2^\kappa$.

De una singular $\kappa$, arreglar un cofinal secuencia $\kappa_i$. Si $A\subseteq\kappa$, $A$ puede ser escrito como la unión de sus intersecciones con $\kappa_i$ todos los $i$. Esto nos da la siguiente: $$2^\kappa\leq\prod 2^{\kappa_i}=\kappa^{\operatorname{cf}(\kappa)},$$ which by the assumption equals to $\kappa^+$.