¿El uso de la constante de símbolos en un primer orden de la teoría implícitamente inducir una existencia axioma?

Question

Si tengo un primer orden de la teoría de la $T$, con una constante símbolo $c$ en su idioma, ¿esto implícitamente implica que hay que incluir la siguiente axioma en $T$?

$$\exists x[x=c]$$

Más generalmente, para una n-ary símbolo de función $f$, tenemos que incluir el siguiente axioma?

$$\forall y_1,...,y_n\exists x[f(y_1,...,y_n)=x]$$

Answer 1

Depende de sus definiciones y reglas de inferencia. En el sistema habitual, una $L$-la estructura debe realizar las asignaciones para todos los símbolos en $L$; en particular, para $M$ $L$- estructura de un lenguaje de $L$ contiene constante de símbolos, se debe identificar cuáles son esas constante de símbolos se refieren, y por lo tanto no puede estar vacío.

Asimismo, la mayoría de los sistemas de inferencia permiten que el siguiente razonamiento: $c = c$ por la definición de $=$; por lo tanto,$(\exists x)(x = c)$.

Así que, sí, $T$ debe incluir $(\exists x)(x = c)$ (si desea $T$ a ser una completa y coherente de la teoría). Pero no estoy seguro de que me lo cuentan como un axioma, es una consecuencia de las reglas de derivación, tanto como "$P \vee \neg P$".

Pero! No hay ninguna razón debemos tener estas reglas. Podríamos decir que un $L$-estructura no necesita hacer estas asignaciones. En ese caso, el sistema habitual de inferencia es falso (porque comprueba $(\exists x)(x = c)$) por lo que sería necesario un nuevo sistema. Me gustaría recomendar uno en el que $c = c$ es reemplazado por $(\exists x)(x = c) \to c = c$. Bajo estas definiciones, una constante símbolo no necesariamente excluye el vacío del universo.

Answer 2

Sí. Por ejemplo, en la teoría de los campos de las constantes $0$ $1$ se utilizan en los axiomas, por lo que debe tener elementos que satisfacen la identidad de las relaciones $0+a=a, 1\cdot a=a$. A menudo se definen a ser diferente con un axioma $0=1$, lo que elimina el campo con un solo elemento.