Adición de operadores sin límites

Question

Deje que $H$ ser un (complejo separable) espacio Hilbert y dejar $A$ y $B$ ser dos operadores lineales densamente definidos y definidos al máximo en $H$ con dominios $D(A)$ y $D(B)$ respectivamente. (Por definición máxima, quiero decir que $A$ y $B$ no admiten prórrogas). Entonces, podemos definir el operador $A+B$ en $D(A) \cap D(B)$ sin embargo, en general, el operador $\left ( D(A) \cap D(B),A+B \right )$ no se definirá al máximo. La pregunta es: ¿este operador admite una único extensión máxima?

Mi conjetura es que la respuesta es no, pero me encantaría que la respuesta fuera sí.

¿Alguna idea?

¡Gracias de nuevo!

Answer 1

No hay operadores máximamente definidos, excepto los definidos en todas partes. Es decir, si $D(A)$ es cualquier subespacio propio de $H$ Puede tomar cualquier $u \notin D(A)$ y definir una extensión $\tilde{A}$ en $D(\tilde{A}) = \text{span}(D(A),u)$ por $\tilde{A}(x+cu) = Ax$ para $x \in D(A)$ y escalares $c$ .

Tal vez le interesen los operadores relacionados con los operadores autoadjuntos. Ahí tengo un pequeño resultado que te puede interesar. Sea $A$ sea cualquier operador lineal autoadjunto no limitado con espectro puramente discreto. Consideremos $T = U A$ y $T^* = A U^*$ donde $U$ es un operador unitario. Entonces el conjunto de $U$ para lo cual ${\cal D}(T) \cap {\cal D}(T^*) = \{0\}$ es un denso $G_\delta$ en los operadores unitarios sobre $H$ .