¿Distribución binomial tiene la menor varianza posible entre todas las distribuciones de "razonables" que puede modelar las elecciones binarias?

Question

Imaginar una elección donde $n$ de la gente de hacer una elección binaria: votar por Una o en contra de ella. El resultado es que el $m$ de la gente de votar por Una, por lo que el resultado es $p=m/n$.

Si quiero el modelo de estas elecciones, puedo asumir que cada persona vota por Una de forma independiente con una probabilidad de $p$, lo que en la distribución binomial de votos: $$\text{votes for A}\sim\mathsf{Binom}(n,p).$$ This distribution has mean $m=np$ and variance $np(1-p)$.

Puedo hacer otros supuestos como el bien. Por ejemplo, puedo asumir que cada persona vota por Una con una cierta probabilidad de $q$ que es una variable aleatoria proveniente de algunos de distribución (por ejemplo, beta) centrada en torno a $p$; esto puede conducir a un beta-binomial distribución de los votos por A., O lo que puedo suponer que la gente vote en grupos de a $k$, donde cada grupo de $k$ a la gente que hace la misma elección, y es Una con una probabilidad de $p$. Esto conducirá a una distribución binomial con mayor varianza. En todos estos casos, la varianza de la distribución resultante es mayor que en el más simple esquema binomial.

Puedo hacer una reclamación de que la distribución binomial tiene la menor posible variación? En otras palabras, esta afirmación se hizo de alguna manera precisa, por ejemplo, mediante la especificación de algunas condiciones razonables sobre las posibles distribuciones? ¿Qué sería de estas condiciones?

O es que hay tal vez algunos razonable de la distribución que tiene menor varianza?

Me puede imaginar menor variación, por ejemplo, cuando todos los $n$ de las personas están de acuerdo de antemano sobre cómo van a votar, y por lo $\text{votes for A}$ no es realmente una variable aleatoria, pero un número fijo $m$. Entonces la varianza es cero. O tal vez casi todos ellos estuvieron de acuerdo, pero algunas personas no lo hizo, y entonces uno puede tener pequeñas varianza en torno $m$. Pero esto se siente como hacer trampa. Se puede tener más pequeñas-de-binomio de varianza sin ningún prearrangements, es decir, cuando cada persona votos, en cierto sentido, al azar?

Answer 1

No.

Supongamos que los votantes consisten $n=2k$ se casó parejas. Los maridos se reúnen y deciden votar en contra de sus esposas, que los mismos, se eligen al azar. El resultado siempre es $k$ de los votos para cada uno de los candidatos, con cero de la varianza.

Usted puede llorar falta, porque los maridos no voto al azar. Bien, que son--que acaba de pasar a estar estrechamente relacionada con el azar de los votos de sus esposas. Si eso le molesta, cambiar un poco las cosas al tener cada esposo flip diez monedas justas. Si todos los diez cabezas, él va a votar con su esposa; de lo contrario él votos en contra de ella. Se puede comprobar que el resultado de la elección todavía tiene pequeñas (aunque distinto de cero) la varianza, aunque cada voto es impredecible.

El quid de la cuestión radica en la negativa de la covarianza entre dos bloques de votación, los machos y las hembras.