¿Cuántos números de dígitos $4$ hay cuya suma de dígitos es igual a $10$?
Por ejemplo, $2017$ es tal un $4$ número de.
Recibí esto de un examen de competencia $10$ th grado matemáticas. Le pregunté a mi profesor de algebra-$2$ y ella no sabe cómo solucionarlo.
Reformular esta como la búsqueda de la número de número entero de soluciones para el sistema de
$$\begin{cases} x_1+x_2+x_3+x_4=10\\ 1\leq x_1\color{grey}{\leq 9}\\ 0\leq x_2\color{grey}{\leq 9}\\0\leq x_3\color{grey}{\leq 9}\\ 0\leq x_4\color{grey}{\leq 9}\end{cases}$$
Ignorando el límite superior de condiciones, por ahora, contar el número de soluciones a la anterior, usando un estándar de estrellas y barras de argumento.
Luego, al notar que ninguno de la cota superior de condiciones, posiblemente, podría ser violado por $x_2,x_3,x_4$ (mientras que siendo la satisfacción de la suma y de todos los límites inferiores), y sólo uno de los resultados viola la primera cota superior de la condición, restar uno para corregir el recuento general.
Cambio de variable $x_1-1=y_1$ sistema $y_1+x_2+x_3+x_4=9$$0\leq y_1,0\leq x_i$. Por las estrellas y los bares están a $\binom{9+4-1}{4-1}=\binom{12}{3}$ soluciones ignorando upperbounds, haciendo de final total $\binom{12}{3}-1=220-1=219$
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