Demostrar las propiedades de un producto interior

Question

$V$ es un $n$ -espacio euclidiano con un producto interno denotado por $(\quad,\quad)$ . $\{{\alpha}_{1},{\alpha }_{2},\cdots,{\alpha}_{n}\}$ es una base de $V.$ $({\alpha}_{i},{\alpha }_{j})\leq 0,i\ne j.$

Demuestra que

1.

Por cada no cero vector $\alpha=\sum_{i=1}^{n}{a}_{i}{\alpha}_{i}$ Si $({\alpha}_{i},\alpha)\geq 0$ por cada $i\in \{1,2,\cdots,n\}$ entonces $a_{i}\geq 0$ por cada $i\in \{1,2,\cdots,n\}.$

2.

Deje que dos diferentes no cero vectores

$\alpha=\sum_{i=1}^{n}{a}_{i}{\alpha}_{i}({\alpha}_{i},\alpha)\geq 0 $ por cada $i\in \{1,2,\cdots,n\}$ ;

$\beta=\sum_{i=1}^{n}{b}_{i}{\alpha}_{i}$ , $({\alpha}_{i},\beta)\geq 0$ por cada $i\in \{1,2,\cdots,n\}.$

Si $\gamma= \sum_{i=1}^{n}{c}_{i}{\alpha}_{i} ,c_{i}=min\{a_{i},b_{i}\},$ entonces $({\alpha}_{i},\gamma)\geq 0$ por cada $i\in \{1,2,\cdots,n\}.$

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Quiero demostrar 1. por inducción en la dimensión $n$ pero parece complejo hacerlo.

Answer 1

Tengo una prueba aquí usando la inducción. Primero probamos que no ocurre nada catastrófico (no hay inducción para este paso). Luego usamos eso para hacer una inducción muy limpia usando un subespacio bien elegido.

Primero demostramos que algún coeficiente debe ser positivo.

Supongamos que todos los coeficientes fueran negativos. Entonces tenemos $(\alpha_i,\alpha)\geq 0$ así que $(a_i\alpha_i,\alpha)\leq 0$ para cada $i$ . La suma de $i$ obtenemos $$ (\sum a_i\alpha_i,\alpha)=(\alpha,\alpha)\leq 0$$ Pero el producto interior de un vector por sí mismo debe ser no negativo por definición de producto interior. Así que $\alpha$ debe ser $0$ Pero esto es una contradicción.

Ahora, la inducción.

Los espacios de 0 (y 1) dimensión funcionan trivialmente.

Supongamos que funciona para $n-1$ espacio dimensional. Además, supongamos que $0\leq(\alpha_i, \alpha)$ para todos $1\leq i\leq n$ . Queremos mostrar cada $a_i\geq 0$ .

Ya sabemos que para algunos $j$ entre $1$ y $n$ tenemos $a_j\geq 0$ . Ahora bien, observamos que como $B=\{\alpha_1,...\alpha_n\}$ forma una base, el conjunto $B\setminus \{\alpha_j\}$ constituye la base de una $n-1$ subespacio dimensional. Además, sabemos que $\beta=\alpha -a_j\alpha_j$ está en este subespacio. Queremos demostrar que $\beta$ y $B\setminus \{\alpha_j\}$ satisfacen la hipótesis inductiva.

Dejemos que $i\neq j$ tenemos $$(\alpha_i,\alpha -a_j\alpha_j)= (\alpha_i,\alpha) -a_j(\alpha_i,\alpha_j) \geq 0$$

Así que satisfacemos la hipótesis inductiva, por lo que sabemos que para todo $i\neq j$ tenemos $a_i\geq 0$ . Y asumimos que $a_j$ es positivo.

¡Y ya está!