Demostrar que \begin{align*} \int_0^{+\infty} \cfrac{\sin nx}{x + \cfrac{1}{x + \cfrac{2}{x + \cfrac{3}{x + \cdots}}}} \, dx &= \cfrac{\sqrt {\cfrac{\pi }{2}} }{n + \cfrac{1}{n + \cfrac{2}{n + \cfrac{3}{n + \cdots}}}}\\ \int_0^{+\infty} \cfrac{\sin \cfrac{n\pi x}{2}}{x + \cfrac{1^2}{x + \cfrac{2^2}{x + \cfrac{3^2}{x + \cdots}}}} \, dx &= \cfrac{1}{n + \cfrac{1^2}{n + \cfrac{2^2}{n + \cfrac{3^2}{n + \cdots}}}}.\end{align*}
Podemos seguir este :
Para el primero uno, utilizamos $$\cfrac{1}{x + \cfrac{1}{x + \cfrac{2}{x + \cdots}}} = e^{x^2/2} \int_x^\infty e^{-t^2/2} \, dt .$$ Entonces debemos demostrar $$\int_0^{+\infty} \sin nx \cdot e^{x^2/2} \, dx \int_x^\infty e^{-t^2/2 \, dt} = \sqrt {\cfrac{\pi }{2}} \cdot e^{n^2/2} \int_n^\infty e^{-t^2/2} \, dt .$$
Para el segundo uno, utilizamos $$\cfrac{1}{x + \cfrac{1^2}{x + \cfrac{2^2}{x + \cfrac{3^2}{x + \cdots }}}} = 2\sum_{n = 1}^\infty \cfrac{(-1)^{n + 1}}{x + 2n - 1} = 2 \int_0^1 \cfrac{t^x}{1 + t^2} \, dt.$$
Tenemos que mostrar $$\int_0^1 \cfrac{2n\pi}{(1 + x^2)(n^2 \pi ^2 + 4\ln^2 x)}dx = \int_0^1 \frac{x^n}{1 + x^2} \, dx .$$
Pero, ¿cómo podemos continuar?
0 votos
Tu código MathJax parece algo escrito por un lunático. { {{ \int }} {(1+{{x^{2}}}}})} {{dx}} } donde \int (1+x^2)\Nserviría dx? Ya tienes suficiente anidación sin eso, y tus fracciones continuas podrían utilizar algunas mejoras de formato de todos modos.
0 votos
{e^{{x^2}/2}} donde e^{x^2/2} serviría.....
0 votos
Ver también Fórmula de la fracción continua de Euler y La fracción continua de Gauss .
0 votos
@MichaelHardy ... la mayoría de los escritores de código automático parecen lunáticos. ¿Podemos saber cuál escribió esto?
0 votos
@GEdgar : No conozco ninguno de ellos.
0 votos
Este puesto deben estar vinculados.