Definición de simplemente conexa en $\Bbb C$

Question

Recientemente vi una definición diferente de simplemente conectado que nunca había visto antes. Un subconjunto conectado $\Omega\subset\Bbb C$ se llama conectado simplemente si el límite es la imagen de una curva cerrada de simple. ¿Esto es equivalente a las definiciones habituales?

Gracias

Answer 1

imagen de una curva cerrada simple

Interpretación 1: la palabra "imagen" se refiere al hecho de que una curva es realmente un mapa (parametrización), y la forma geométrica que pensamos como una curva es la imagen del mapa. Algunas personas, incluyéndome a mí, podría omitir las palabras "imagen" en este caso.

Con esta interpretación, tenemos la definición de Jordan de dominio, que es un grupo más pequeño de los dominios que simplemente conectado. Por ejemplo, la ranura del disco $\{z:|z|<1\}\setminus [0,1]$ es simplemente conectado dominio, pero no es un Jordania dominio.

imagen de una curva cerrada simple

Interpretación 2: la palabra "imagen" significa imagen continua. Un conjunto es una imagen continua de una curva cerrada simple si y sólo si a es compacto, se conecta, y conectado localmente (esto se deduce de la de Hahn-Teorema de Mazurkiewicz. De nuevo, tenemos una definición más estricta que la simple conexión:

• el límite de una simplemente conectado dominio no necesita ser compacto (considere el halfplane)
• el límite de una simplemente conectado dominio no necesita ser conectado localmente. Para construir un ejemplo, quitar la línea vertical de los segmentos de $1/n$ a $1/n+i$, $n=1,2,\dots$ desde el abierto cuadrante $x>0,y>0$.

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Observaciones:

1. Supongo que la primera interpretación fue la intención de uno.

2. Es cierto que la conexión de un subconjunto de a $\Omega\subset\mathbb C$ es simplemente conexa si y sólo si el conjunto de $\overline{\mathbb C}\setminus \Omega $ está conectado en la topología de la esfera de Riemann $\overline{\mathbb C}$. En el caso especial cuando $\Omega$ es acotado, esto equivale a $\partial \Omega$ está conectado.