Supongamos que C es un Cantor situado en el plano euclidiano, o incluso en R ^ 3. Supongamos que h es un homeomorfismo de C sobre sí mismo. ¿Se puede extender a un homeomorfismo de todo el espacio? ¿Qué pasa si h preserva los 'puntos finales' del conjunto Cantor? Parece que este último es una condición necesaria pero no sé cómo probarlo.
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Michelle
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En $\mathbb{R}^2$, Schonflies teorema garantiza que cualquiera de los dos incrustaciones de conjuntos de Cantor son equivalentemente, incrustado, o, equivalentemente, que cualquier homeomorphism $h$ entre los dos conjuntos de Cantor (se puede probar que dos conjuntos de Cantor tiene un homeomorphism entre ellos - creo que esto está probado en Edwin E. Moise el libro de Topología Geométrica de las Dimensiones 2 y 3) puede ser extendida a una homeomorphism $H \colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$.
En $\mathbb{R}^3$, tenemos muchos ejemplos de rígido conjuntos de Cantor; un favorito personal es el siguiente papel que se generaliza Skora la construcción de un salvajemente incrustado conjunto de Cantor en $S^3$ con un simple conectado complemento, para producir un rígido salvajemente incrustado conjunto de Cantor en $\mathbb{R}^3$, con un simple conectado complemento.
Dan Rust
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18227
Esto depende de lo que usted quiere llamar a un conjunto de Cantor. El medio habitual tercios conjunto de Cantor es uno de incrustación del conjunto de cantor en el avión/$3$-espacio, sin embargo hay muchas otras maneras de integrar el conjunto de Cantor en un espacio y no parece ser una rica teoría detrás de todas las formas posibles (yo no trabajo en esta área, así que no puedo dar demasiados detalles).
El papel de la Homogeneidad de los grupos de los extremos de abrir $3$-colectores, Garity & Repovs, ofrece un breve vistazo a algunas de las preguntas que pueden surgir, y usted puede obtener una idea de cómo la no-trivial algunas de estas incrustaciones puede ser por la lectura de la introducción.
El estándar de la media tercios conjunto de Cantor de la incrustación en el plano es conocido por ser fuertemente homeogenously incrustado, lo que significa que cualquier automorphism se extiende a la totalidad del plano. Sin embargo, en el otro extremo de las cosas que existen incrustaciones de que el conjunto de Cantor en $\mathbb{R}^n$ tal que los no-trivial automorphism del conjunto de Cantor puede ser extendida - estos son los llamados rígidamente incrustado.
Hay muchos problemas abiertos relacionados con estos términos relacionados con la mansos y salvajes incrustaciones en Eucldiean espacio.
