Teorías alternativas del sistema

Question

Esta es una (suave!) pregunta para los estudiantes de la teoría de conjuntos y sus maestros.

OK: ZFC es la canónica de la teoría de conjuntos que todos conocemos y amamos. Pero ¿qué otra alternativa conjunto de teorías, si un estudiante serio encuentro (al menos en la medida de saber que la teoría de que existe, y sobre por qué es el pensamiento interesante)?

Sugerencias podrían ser SP (Scott-Potter), NBG, NF, ZFA, IST, ETCS (para un par de frases de explicación, ver http://www.logicmatters.net/2013/03/tyl-14-alternative-set-theories/

Pero lo que podría estar en su lista de alternativas conjunto de teorías sería bueno para los estudiantes avanzados para escuchar, si sólo brevemente?

Answer 1

Pedro, hay un buen papel, precisamente, sobre este tema. No es muy exhaustiva, pero ofrece una extensa bibliografía y una buena visión de conjunto:

M. Randall Holmes, Thomas Forster y Thierry Libert. Alternativa Conjunto De Teorías. En el Manual de la Historia de la Lógica, vol. 6, "Conjuntos y Extensiones en el Siglo Xx", De 2012, Elsevier/North-Holland, Dov Gabbay, Akihiro Kanamori, y John Woods, eds., p 559-632.

Por alguna razón, el volumen no aparece en MathSciNet, así que voy a decir unas pocas palabras sobre el contenido de dicho documento.

El documento comienza con la discusión (Sección 2) Tipo Simple Teoría, Mac Lane y Zermelo, no porque son teorías alternativas, sino porque son necesarios para comprender algunos de ellos (como las Nuevas Fundaciones y sus variantes), aunque los autores mencionan que "Zermelo la teoría de conjuntos, o variantes de la teoría de Zermelo han sido puestos en servicio a sí mismos como alternativa conjunto de teorías, presumiblemente por parte de los trabajadores nervioso acerca de la alta consistencia de la fuerza de $\mathsf{ZFC}$."

Sección 3 cubre las teorías con las clases: en Primer lugar Von Neumann-Gödel-Bernays y Kelley-Morse de la teoría de conjuntos, entonces Ackermann la teoría de conjuntos (donde no clases pueden pertenecer a otras clases, esta teoría es equiconsistent con $\mathsf{ZF}$) y, a continuación, una debilidad del sistema que ellos llaman "el Bolsillo de la teoría de conjuntos", una expansión debido al Holmes de una sugerencia por Rudy Rucker.

La sección 4 se examinan las teorías con los átomos y con anti-fundación axiomas. Primero discutir $\mathsf{ZFA}$, Aczel anti-fundación axioma, y Boffa del axioma (en este sistema, hay una clase adecuada de $x$$x=\{x\}$, mientras que en Aczel del sistema sólo hay uno).

Continúan en la sección 5 con Nuevas Fundaciones y sistemas relacionados (tales como el mucho mejor entendida $\mathsf{NFU}$, donde urelements están permitidos). Naturalmente, esta sección ocupa la mayor parte del papel.

Sección 6 discutido Positivo de la teoría de conjuntos y sus fragmentos y variantes, generalmente denotado $\mathsf{PST}$, tal vez con la sub y superíndices (una excepción a esta notación es la teoría de la $\mathsf{GPK}^+_\infty$, mutuamente interpretables con una extensión de Kelley-Morse por grandes cardenales). Esto conduce a Topológico de la teoría de conjuntos.

Puesto que los sistemas en la sección 6 permiten hablar de super - o hyperuniveses, la sección 7 describe los sistemas motivado por la no-estándar de análisis, tales como Nelson Interna de la teoría de conjuntos, o Vopěnka.

Sección 8 concluye la lista y cubre "curiosidades": El doble de la extensión de la teoría de conjuntos de Andrzej Kisielewicz (que "tiene la propiedad de que es generalmente atribuido a las Nuevas Fundaciones (creemos que no es enteramente bastante) de ser motivado por un sintáctica truco sin ningún tipo de motivación semántica"), y Zermelo del conjunto de la teoría extendida por un axioma afirmar que hay una escuela primaria $j:V\to V$, que resulta ser significativamente alto en términos de la consistencia de la fuerza

Permítanme añadir que la teoría de la $\mathsf{ZF}$ aumentada por un axioma también ha sido estudiado, hasta muy recientemente, pero yo no clasificaría a ella por cualquier medio como alternativa. En general, las extensiones de $\mathsf{ZF}$ a través de grandes cardenales, obligando, o interior-modelo de consideraciones teóricas son sólo una parte del conjunto estándar de teoría de paisaje.

Algo que el papel definitivamente no cubre es de los sistemas motivados por la geometría algebraica, topos teórica, o categóricas consideraciones, tales como Grothendieck universos. Sobre el tema de la categórico de la teoría de conjuntos, y Lawvere de la Teoría Elemental de la Categoría de Conjuntos, hay un estudio reciente que ha reunido un poco de atención,

Tom Leinster. El replanteamiento de la teoría de conjuntos. ArXiv:1212.6543.

Por último, también hay Bourbaki la teoría de conjuntos, acerca de que Mathias ha escrito un par de críticas. Usted puede disfrutar de la discusión en el nForum.

Answer 2

Hay estructural de la teoría de conjuntos SEAR (y variantes) por Mike Shulman.

DORAR toma como básica la noción de conjuntos, elementos y relaciones, y que tiene como lógica de conexión a tierra dependiente del tipo de teoría, en la que los elementos se introducen por el conjunto al que pertenecen (a diferencia de ZFC, los elementos no son en sí mismos conjuntos, y no puede pertenecer a más de un conjunto), y las relaciones escritas por su dominio y codominio. Los axiomas permiten construir una categoría de conjuntos agradable con propiedades muy rápidamente (es decir, un topos) y en la final se consigue algo equiconsistent con ZF. Hay una extensión de SEAR-C, incluyendo el axioma de elección; esto es equiconsistent con ZFC.

Si alguien está contando, SEAR-C tiene 7 axiomas, dos de los cuales son de esquema. Si yo estaba presionado, en el momento en el que me gustaría nominar a DORAR(-C) para que mi favorita fundamentales del sistema.

(Aparte: la Gente definitivamente debe aprender la no-bastante formalizado el contraste entre el material y estructural conjunto de teorías: la primera es básicamente cualquier cosa que se trata de elementos como el supremo, que tienen existencia independiente y todo lo que hay, el último es el más isomorfismo invariante y elementos no tienen existencia independiente (este es mi propio spin - no hay estancos definición). Tenga en cuenta que 'categórico' la teoría de conjuntos es subsumida por parte estructural de la teoría de conjuntos, como FIADOR es que no se da por axiomatising una categoría de conjuntos, sólo los jefes de esa manera como fue inventado y desarrollado por los teóricos de la categoría)

Answer 3

Teoría de Kripke-Platek determinada es un bien explorado axiomatización de una teoría de conjunto de primer orden debilitada que da agradable correlaciones con el lenguaje de la aritmética de segundo orden (sí mismo una teoría de primer orden).

Este es probablemente el campo más útil de la teoría de sistema no estándar para saber si usted está interesado en axiomas de comprensión de segundo orden, teoría de modelos recursivos, o revertir las matemáticas.

Answer 4

Yo diría que algunas alternativas constructivas para ZF debe estar en la lista.

Martin-Löf Tipo de Teoría no es una teoría como tal, pero creo que podría ser incluido.

IZF y CZF son subtheories de ZF con intuitionistic lógica en lugar de la clásica (no medio excluido). Se puede ampliar a ZF cuando excluidos medio se agrega como un axioma, y, sin embargo, también puede ser ampliado con varias organizaciones no-clásica axiomas, incluyendo:

• Todas las funciones $\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ son continuas.
• Iglesia de la Tesis: todas las funciones $\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ son computables
• La uniformidad de principio: para cada fórmula $\phi$, $(\forall x)(\exists n \in \omega)\phi(x, n) \rightarrow (\exists n \in \omega)(\forall x)\phi(x, n)$

Answer 5

He presentado en mi sitio web una expresión de la teoría de conjuntos que parece nuevo. Mi propósito en el diseño, era para dar una forma limpia y eficiente para construir las matemáticas a partir de cero para el interés de los inteligentes estudiantes de pregrado, proporcionando un camino directo a la mayor herramientas matemáticas y meta-matemáticas consideraciones. Esto no es sólo una diferente de la formalización de la teoría de conjuntos, sino una forma de introducir las matemáticas la combinación de esta teoría de conjuntos con el modelo de la teoría. Para resumir las principales diferencias de este conjunto la teoría de ZF:

Los tipos básicos de objetos son los elementos, conjuntos y funciones. Cada elemento de un conjunto o de una función o de ninguno (puro). Más tipos de objetos puede ser visto como otros tipos o construido a partir de los anteriores : las operaciones, las relaciones, las tuplas. Muchos símbolos son admitidos más allá de la mera ∈ de ZF, la mayoría de los cuales no son nuevas, pero un reconocimiento oficial de la ampliamente utilizado notaciones matemáticas, aquí como (más o menos) de primaria. Algunos están en ninguna de ambas estándar de tipos de estructura de los símbolos de la lógica de primer orden (operadores y predicados), sino que son un tipo diferente de símbolos: los captores, que se unen a una variable en un conjunto. Aparte de incluir delimitada cuantificadores como casos particulares, los ejemplos incluyen la función definidor (E∋x↦...); el conjunto de constructores {x∈E|...} y {f(x)|x∈E}; los símbolos de la unión y de los productos de una familia de conjuntos definidos por un término. También quiero expresar y justificar un principio de varios axiomas de existencia como casos particulares. Las clases no se definen como objetos de este conjunto de la teoría, sino como meta-objetos.