La diferenciabilidad implica la continuidad de Lipschitz

Question

Sea$f:[0,1]\to\mathbb{R}$ una función continua y supongamos que$f$ es diferenciable en$x_0\in [0,1]$. ¿Es cierto que existe$L>0$ tal que$\lvert f(x)-f(x_0)\lvert\leq L\lvert x-x_0\lvert$?

Sé que continuamente diferenciable local implica la continuidad local de Lipschitz. ¿Sigue siendo cierto en el caso anterior?

Answer 1

De la diferenciabilidad en$x_0$, encontrará un$L_1$ tal que$| f(x)-f(x_0) |\leq L_1| x-x_0|$ para$|x-x_0| < \delta$. Dado que$f$ es continuo en un conjunto compacto,$|f(x)|_{\infty} < \infty$. Esto le dará un$L_2$ tal que$| f(x)-f(x_0) |\leq L_2| x-x_0|$ para$|x-x_0| \geq \delta$. Tomar $L = \max \{L_1, L_2\}$.