Resolver

Question

Tengo que resolver esta integral definida, aunque no tengo ni idea de en qué dirección ir. Otro de los ejercicios que he tenido es el de resolver algo similar que parezca: $$\int_0^1((1-x)^{11}x^2)dx$$ así que para esta integral me podría sustituir a $t=1-x$ y me sale mucho más fácil que la versión de la integral. El mismo método que yo no podía llevar a cabo en la integral dada $\int_0^1((1-x)^8x^{11}-(1-x)^{11}x^8)dx$ simplemente no funciona. La única cosa que pude notar es: $$\int_0^1((1-x)^8x^{11}-(1-x)^{11}x^8)dx=\int_0^1((1-x)^8x^8(x^3-(1-x)^3))dx$$ sin embargo, yo estoy atascado en el aquí y no tengo ni idea de cómo resolver la integral. (seguro que no es la solución más simple para abrir el polinomio - pero es ingenuo y tonto...)

gracias

Answer 1

NOTA:

Reconocemos que la integral de interés es, simplemente, $B(12,9)-B(9,12)$ donde $$B(x,y)=\int_0^1 t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt$$

es la Función Beta. Entonces, la explotación de la propiedad de la Función Beta, $B(x,y)=B(y,x)$, de inmediato nos encontramos con que el resultado es $0$.

Pensé que sería instructivo para presentar un camino a seguir para aquellos no familiarizados con la Función Beta. Para ello, vamos a proceder.

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El resultado de la integral de interés se puede generalizar de la siguiente manera. Deje $I(x,y)$ ser la integral dada por

$$I(x,y)=\int_0^1 t^x (1-t)^y\,dt$$

Ahora, la aplicación de la sustitución de $t \to 1-t$ nos encontramos con que

$$\begin{align} I(x,y)&=\int_0^1 t^x \,(1-t)^y\,dt\\\\ &=\int_1^0 (1-t)^x\,t^y\,(-1)\,dt\\\\ &=\int_0^1 (1-t)^x\,t^y\,dt\\\\ &=I(y,x)\\\\ \end{align}$$

Por lo tanto, $I(x,y)=I(y,x)$ o $I(x,y)-I(y,x)=0$.

Answer 2

La simetría de las expresiones sugiere desplazar al centro de la integral alrededor de$0$. Al sustituir$u=x-1/2$, tiene

ps

La integral es de una función extraña sobre$$\int_{-1/2}^{1/2}\left(\left(\frac12-u\right)^8\left(\frac12+u\right)^{11}-\left(\frac12-u\right)^{11}\left(\frac12+u\right)^8\right)du$, por lo que su valor es$[-a,a]$.

Answer 3

Existen más de un enfoque para su problema, esta respuesta utiliza un enfoque más "fuerza bruta" -esque. Ver diferentes enfoques puede ayudar a tener una mayor comprensión de lo que está pasando aquí. $$\int_0^1((1-x)^8x^{11}-(1-x)^{11}x^8)dx$ $ Pasa a calcular los límites después de tratar esto como una integral definida. $$=\int{2x^{19}}dx-\int{19x^{18}}dx+\int{83x^{17}}dx-\int{221x^{16}}dx+\int{400x^{15}dx-\int{518x^{14}}dx+\int{490x^{13}}dx-\int{338x^{12}}dx+\int{166x^{11}}dx-\int{55x^{10}}dx+\int{11x^{9}}dx-\int{x^{8}}dx}$ $$$=\dfrac{x^{20}}{10}-x^{19}+\dfrac{83x^{18}}{18}-13x^{17}+25x^{16}-\dfrac{518x^{15}}{15}+35x^{14}-26x^{13}+\dfrac{83x^{12}}{6}-5x^{11}+\dfrac{11x^{10}}{10}-\dfrac{x^{9}}{9}+C$ $ Ahora calculamos los límites. Unesdoc.unesco.org unesdoc.unesco.org

Answer 4

Como la gente está dando enfoques alternativos a la sustitución$t = 1 - x$, aquí hay otra:

Integrar por partes en${\displaystyle \int_0^1 (1 - x)^8x^{11}\,dx}$, integrando el$(1 - x)^8$ y diferenciando el$x^{11}$. Los términos del punto final son cero, así que obtendremos$$\int_0^1 (1 - x)^8x^{11}\,dx = {11 \over 9} \int_0^1 (1 - x)^9x^{10}\,dx$ $ Haciendo la misma cosa dos veces más rendimiento$$\int_0^1 (1 - x)^8x^{11}\,dx = {11 *10 * 9 \over 9 * 10 * 11} \int_0^1 (1 - x)^{11}x^8\,dx$ $ Esto puede ser reordenado como$$\int_0^1 \big((1 - x)^8x^{11} - (1 - x)^{11}x^8\big)\,dx = 0$ $

Answer 5

Utilice la propiedad P4 de las integrales definidas en la siguiente imagen. A pesar de que todavía implica que la apertura, pero no tan ingenuo como el contrario.