Límites de Integral$\lim\limits_{n\to\infty}\int\limits_a^b\sqrt[n]{f^n(x)+g^{n}(x)}dx.$

Question

Sea$f, g:[a,b]\to[0,\infty)$ funciones continuas. Encuentra el valor de$$\lim\limits_{n\to\infty}\int\limits_a^b\sqrt[n]{f^n(x)+g^{n}(x)}dx.$ $

Uno dijo que los resultados son$\int\limits_a^b h(x)dx$ donde$h(x)=\max\{f(x), g(x)\}$.

Por favor, dame algunos consejos.

Answer 1

Supongamos $f(x) > g(x) \ \forall x \in [a, c]$ $g(x) > f(x)\ \forall x \in [c,b]$

$$ \lim_{n \rightarrow \infty} \int\limits_{a}^b \sqrt[n]{f^n(x)+g^n(x)} \mathrm{d}x \\ \lim_{n \rightarrow \infty} \int\limits_{a}^c \sqrt[n]{f^n(x)+g^n(x)} \mathrm{d}x + \lim_{n \rightarrow \infty} \int\limits_{c}^b \sqrt[n]{f^n(x)+g^n(x)} \mathrm{d}x \\ \lim_{n \rightarrow \infty} \int\limits_{a}^c \left|f(x)\right| \sqrt[n]{1+\frac{g^n(x)}{f^n(x)}} \mathrm{d}x + \lim_{n \rightarrow \infty} \int\limits_{c}^b \left|g(x)\right|\sqrt[n]{\frac{f^n(x)}{g^n(x)}+1} \mathrm{d}x \\ $$

Ahora toma el límite dentro del signo integral y verás que el problema se reducirá a

$$ \lim_{n \rightarrow \infty} \int\limits_{a}^c \left|f(x)\right| \mathrm{d}x + \lim_{n \rightarrow \infty} \int\limits_{c}^b \left|g(x)\right| \mathrm{d}x \\ $$

Espero que la idea general. Dividir el intervalo de $[a,b]$ en partes donde $f$ $g$ se cruzan entre sí y hacer un procedimiento similar a la de arriba y usted encontrará que la función que es más grande en un intervalo aparecerá en el integrando del intervalo.

EDIT: Al $f(x) = g(x)$ en un intervalo de tiempo (no importa si eso sucede sólo en un countably infinitos puntos), entonces el integrando acaba de ser $f(x)$ (o $g(x)$) (żpor qué?)

Gracias a Glen O para señalar esto.