Dado un sistema mecánico con los grados de libertad $q=(q_1,\cdots,q_n)$, cuya dinámica está dada por
$$\ddot{q}_i = f_i(q,\dot{q},t),\tag{1}$$
para $i=1,\cdots,n$, hay criterios en la $f_i$'s que garanticen la existencia de un Lagrangiano? Me refiero, por supuesto, que el sistema (1), que sería el de Euler-Lagrange las ecuaciones para que de Lagrange. iirc para $n=1$, ha sido conocido desde el siglo 19, que siempre hay una de Lagrange. Pero lo que es conocido por más de un grado de libertad?
En realidad, se llega a pensar que es que el sistema (1) puede no ser el de Euler-Lagrange las ecuaciones en general. En su lugar, podríamos tener funciones de $a_{ij}(q, \dot{q},t)$ tal que
$$a_{ij}(\ddot{q}_j-f_j)=\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\right)-\frac{\partial L}{\partial q_i},$$
con una suma sobre índices repetidos.
