¿Existe una fórmula general para tres triángulos pitagóricos que comparten un área?

Question

La fórmula básica para generar un triángulo pitagórico $A^2 + B^2 = C^2$ es,

$A = M^2 - N^2;\quad B = 2MN ;\quad C = M^2 + N^2$

Y Wolfram Alpha me dio una solución (acreditada a un tal Enrique Zeleny) para tres triángulos que comparten un área común (calculada como $\frac{AB}{2}$ ), por lo tanto,

$$M_1 N_1 (M_1^2-N_1^2)=M_2 N_2 (M_2^2-N_2^2)=M_3 N_3 (M_3^2-N_3^2)$$

donde,

$M_1 = r^2 + rs + s^2;\quad N_1 = r^2 - s^2$

$M_2 = r^2 + rs + s^2;\quad N_2 = 2rs + s^2$

$M_3 = r^2 + 2rs;\quad\quad N_3 = r^2 + rs + s^2$

Sin embargo, me ha llamado la atención que se trata de un caso específico en el que no entrarían muchas triplas de triángulos pitagóricos.

Gerry Myerson de este mismo sitio, por ejemplo, publicó un cuatrillizo de triángulos pitagóricos (esencialmente, 4 trillizos superpuestos) que en su mayor parte no tiene esta forma :

$(A;B;C) = (111;6160;6161),\; (M;N) = (56;55)$

$(A;B;C) = (231,2960,2969),\; (M;N) = (40;37)$

$(A;B;C) = (1320,518,1418),\; (M;N) = (37;7)$

$(A;B;C) = (280,2442,2458),\; (M;N) = (37,33)$

Q: ¿Existe una fórmula más general dentro de la cual todas estas son soluciones específicas?

Answer 1

COMENTARIO.-Básicamente tu problema es encontrar muchas soluciones enteras positivas de la ecuación $$xy(x^2-y^2)=k$$ donde $k$ es un número entero natural (el área de un triángulo rectángulo).

La parametrización dada (de Enrique Zeleny) da una infinidad de conjuntos de tres triángulos que comparten la misma área. En el caso del ejemplo de Gerry Myerson correspondiente a la ecuación $$xy(x^2-y^2)=341880$$ el valor de $k$ es algo grande y no recibe una parametrización similar para los conjuntos de cuatro triángulos. Intento explicar aquí este último hecho.

La curva $xy(x^2-y^2)=k$ no tiene puntos singulares por lo que tiene género igual a $\dfrac{(4-1)(4-2)}{2}=3$ . Estamos ante una curva plana cuaternaria de género $3$ por lo que, según el célebre teorema de Faltings que demuestra la Conjetura de Mordell, esta curva sólo tiene un número finito de puntos racionales ( nada en este contexto sobre puntos enteros que es un problema más difícil ). Quiero decir que el problema planteado es bastante difícil. Sólo para conjuntos de cuatro triángulos, ciertamente que $k=341880$ debe ser una especie de mínimo posible por lo tanto para conjuntos de cinco,seis,etc triángulos el problema se hace aún más difícil.Y extremadamente difícil o imposible una parametrización como para tres triángulos.

La dificultad en la determinación de puntos enteros en una curva de género $1$ se puede visualizar indirectamente leyendo el artículo "Integer points on Curves of Genus 1" escrito por Joseph H. Silverman: Journal of the London Mathematical Society, Volume s2-28, Issue 1, August 1983, p.1-7. Mucho más entonces para el género mayor que $1$ .

Answer 2

He encontrado una fórmula con ayuda que encontrará los triples pitagóricos, si existen, para un área determinada. Es la solución (para n) de la ecuación cúbica que resulta de multiplicar $A\times B/2$ utilizando la fórmula de Euclides donde

$$A=m^2-n^2\qquad B=2mn\qquad C=M^2+n^2$$

$$\frac{AB}{2}=\frac{2mn(m^2-n^2)}{2}=m^3n-mn^3=D\quad\implies\quad mn^3-m^3n+D=0$$

$\qquad \text{when solved for n, becomes}$

$$n_0=2\sqrt{\frac{m^2}{3}}\cos\biggl({\biggl(\frac{1}{3}\biggr)\arccos{\biggl(-\frac{3\sqrt{3}D}{2m^4}\biggr)}\biggr)}$$ $$n_1=2\sqrt{\frac{m^2}{3}}\cos\biggl({\biggl(\frac{1}{3}\biggr)\arccos{\biggl(\frac{3\sqrt{3}D}{2m^4}\biggr)}\biggr)}$$ $$n_2=n_1-n_0$$

donde $$\lfloor\sqrt[4]{D}\rfloor\le m\le \lceil\sqrt[3]{D}\rceil$$

Cualquier combinación de $D\&m$ que produce un número entero $n$ proporciona la $m,n$ necesarios para generar el o los triples.

Por ejemplo, un área determinada $341880$ , $\lfloor\sqrt[4]{341880}\rfloor = 25 \le m\le \space\lceil\sqrt[3]{341880}\rceil=70$ y encontramos

$$F(341880,37)_0=33\implies F(37,33)=(280,2442,2458)$$ $$F(341880,37)_2=7\implies F(37,7)=(1320,518,1418)$$ $$F(341880,40)_0=36\implies F(40,37)=(231,2960,2969)$$ $$F(341880,56)_0=55\implies F(56,55)=(111,6160,6161)$$

Para grandes valores de $D$ la gama de $m$ -pueden ser muy grandes pero, como $m|D$ sólo tenemos que comprobar los factores de $D$ en el rango especificado. Por ejemplo, sólo hay $13$ factores de $341880$ entre $25$ y $70$ y, en una $15$ -dígito $area$ Lo intenté, sólo había $26$ factores en el rango para esa zona.

Caveate: La fórmula de Euclides genera primitivos, dobles y múltiplos cuadrados de triples pero no generará, por ejemplo $(9,12,15)$ que es $3\times(3,4,5)$ por lo que esta fórmula no encontrará un número entero $n$ para $D=54$ . Sin embargo, si se tiene en cuenta $54$ obtenemos $2\times3^3$ y el $3^2$ indica que la primitiva $(3,4,5)$ debe multiplicarse por $3$ .

BTW: $$F(840,7)_0=5\implies F(7,5)=(24,70,74)$$ $$F(840,7)_2=3\implies F(7,3)=((40,42,58)$$ $$F(840,8)_0=7\implies F(8,7)=(15,112,113)$$