Demostrar que $\sqrt {f(x)}$ es Lipschitz

Question

Que $f(x)\in C^2(\mathbb{R}), f(x)\geq0,f''(x)\leq1,$ demostrar que $\sqrt{f(x)}$ es una función Lipschitz.

Puedo probar que $f(x)$ es uniformemente continuo por la desigualdad sin la condición de la $f''(x)$, así que quiero pedir a alguien para una mejor respuesta.

Gracias de antemano.

Answer 1

Sugerencia: utilizando la expansión de Taylor demuestran que para todo real $x,t$: $$ 0 \leq f(x+t) \leq f (x) + f'(x) t + \frac{t^2}{2} = f (x)-\frac {f'(x) ^ 2} {2} + \frac12 (t+f'(x)) ^ 2$ $ que implica $f(x)\geq f'(x)^2/2$ y deducir que $\sqrt{f}$ es $\frac{1}{\sqrt{2}}$-Lipschitz por límite su derivado. El resultado es óptimo como se muestra en el ejemplo $f(x)=x^2/2$