Un amigo de la mente había una pregunta que no podía responder. Es bien sabido que si $K$ es un sistema cerrado, el subconjunto convexo de un espacio de Hilbert $H$ (por decir sobre los reales), entonces, para cualquier punto de $p \in H$, existe un único punto de $p'$ $K$ más cercano a $p$. Nos gustaría saber si las siguientes contrario también es cierto.
Si $K \subset H$ es un subconjunto cerrado de forma tal que, para todos los puntos de $p \in H$, existe un único punto de $p' \in K$ más cercano a $p$, no se sigue que $K$ es convexo?
No estoy seguro de cuál es la respuesta - incluso cuando $H$ es el avión!
OK, he encontrado algo de tiempo para leer/entender el documento que Michael Biro enlace a continuación, así que pensé en añadir un resumen. En lo que sigue, $K$ es un subconjunto de lo finito-dimensional espacio de Hilbert $\mathbb{R}^n$ tal que, para todos los $x \in \mathbb{R}^n$, no hay una única $P(x) \in K$ tan cerca como sea posible a $x$. Es decir, $P(x)$ es el único punto en $K$$\| x-P(x)\| = \mathrm{dist}(x,K)$. En particular, $\mathrm{dist}(x,K)$ es positivo cuando se $x \notin K$, lo $K$ es claramente cerrado. Otro de fácil observación es la siguiente.
Lema 1. Si $x \in \mathbb{R}^n \setminus K$, $P(y) = P(x)$ todos los $y$ en el segmento de la línea de unirse a $x$$P(x)$.
Prueba. Tenemos $$ \|x - P(y)\| \leq \|x - y\| + \|y - P(y)\| \leq \|x-y\| + \|y-P(x)\| = \|x - P(x)\|$$ de dónde $P(y) = P(x)$. El final de la igualdad anterior se usa la suposición de que $y$ es en el segmento de la línea de unirse a $x$$P(x)$.
Es razonable esperar Lema 1 para mantener al $y$ es meramente en el rayo se extiende desde $P(x)$ a través de $x$. Esto es cierto, pero mucho menos fácil de demostrar. De hecho, la prueba parece necesitar de punto fijo de Brouwer teorema. Para aplicar Brouwer, tendremos la continuidad de la proyección.
Lema 2. $P$ es continua.
Prueba. Supongamos $x_n \to x$$\mathbb{R}^n$. Queremos mostrar $P(x_n) \to P(x)$. Tenga en cuenta el $P(x_n)$ son claramente al menos delimitada. El uso de los teoremas de Bolzano-Weierstrass teorema para reducir demostrando $P(x_n) \to P(x)$ para probar la $P(x_{n_k}) \to P(x)$ por cada subsequence tal que $P(x_{n_k})$ converge. Si $P(x_{n_k}) \to y \in K$, luego $$ \|x-y\| = \lim_{k \to \infty} \|x_{n_k} - P(x_{n_k})\| = \lim_{k \a \infty} \mathrm{dist}(x_{n_k}, S) = \mathrm{dist}(x,K)$$ lo que implica $y=P(x)$.
Ahora usamos el Brouwer teorema de punto fijo para mejorar el Lema 1.
Lema 3. Si $x \in \mathbb{R}^n \setminus K$, $P(y) = P(x)$ todos los $y$ en el rayo que se extiende desde $P(x)$ a través de $x$.
Prueba. Supongamos que todo el ray no proyecto a $P(x)$. El uso de los Lemas 1 y 2, sostienen que el $x$ se puede mover a lo largo del rayo hasta que todo en el segmento cerrado de $P(x)$ $x$proyectos $P(x)$, pero todo lo más en el rayo no no proyecto a $P(x)$. Deje $B$ ser una bola cerrada centrada en $x$ disjunta de a $K$. Definir un mapa de $\Phi : B \to \partial B$ mediante el envío de $y \in B$ a el único punto de $\Phi(y) \in \partial B$ tal que $x$ está en el segmento de unirse a $P(y)$$\Phi(y)$. Es fácil obtener una fórmula explícita y la continuidad de la $\Phi$ sigue del Lema 2. Por Brouwer, $\Phi$ tiene un punto fijo. Resulta que sólo puede haber un punto fijo y nos va a decir exactamente lo que es. Supongamos que $y$ es un punto fijo de $\Phi$. A continuación, $x$ está en el segmento de $P(y)$ $y=\Phi(y)$ $P(y) = P(x)$por el Lema 1. Pero, esto determina $y$ únicamente para ser el punto en $\partial B$ antipodal a $P(x)$. Pero, ahora tenemos una contradicción ya que el esta $y$ está más allá de $x$ en el rayo de $P(x)$ a través de $x$ y por tanto debe tener $P(y) \neq P(x)$ por supuesto.
Con el Lema de 3 fuera del camino, es fácil probar Motzkin del teorema de uso de la idea de Rahul comentario más abajo.
Motzkin del Teorema. Cada subconjunto de $\mathbb{R}^n$ con el "único punto más cercano de la propiedad" es convexa.
Prueba. Supongamos que $x \in \mathbb{R}^n \setminus K$. Por el Lema 3, para cualquier punto de $y$ en el rayo de $P(x)$ a través de$x$,$P(x) = P(y)$, de modo que el open de bola de $B_y$ centrada en $y$ $P(x)$ sobre el límite es disjunta de a $K$. Como $y$ llega a ser ilimitado, podemos ver que $K$ es separado de $x$ por el semiplano a través de $P(x)$ con vector normal $x-P(x)$. Obviamente esto excluye la posibilidad de que $x$ es una combinación convexa de dos puntos en $K$.
