¿Cuál será la forma final y el área de este fractal?

Question

Comience con un triángulo isósceles con un ángulo de vértice $\alpha>\frac{\pi}{2}$ y dibujar dos triángulos similares en sus lados, continuar ad infinum. Cada triángulo tendrá lados $\frac{1}{2 \sin \alpha/2}$ más pequeño, o el área $\frac{1}{4 \sin^2 \alpha/2}$ más pequeño. Para $\alpha>\frac{\pi}{2}$ el área final del fractal será finita.

En el caso general, el límite de la figura resultante tendrá una forma fractal. Sin embargo, me interesa el caso límite de:

$$\alpha=\frac{2 \pi}{3}$$

Entonces para los 2 primeros pasos obtenemos:

Y de hecho cada "surco" como el central será llenado completamente por los triángulos más pequeños, porque tenemos:

$$S_n=\frac{1}{3} S_{n-1}$$

Como $2$ se crean nuevos triángulos en cada paso, tenemos:

$$S_0 \sum_{n=1}^\infty \frac{2^n}{3^n}=2S_0$$

La mitad de esta zona ( $=S_0$ ) se gastará para rellenar la ranura, el otro se quedará "fuera". (Esto es incorrecto ver el paragrath al final. En realidad todo va dentro de la ranura, ya que la mitad de los triángulos se superponen a los mayores).

Como pregunto en el título: ¿cuál será la forma final del límite de este fractal? ¿Tendrá una forma suave $1D$ límite o seguirá siendo fractal?

Desgraciadamente, todavía no he podido programar este fractal, pero también me gustaría escuchar una respuesta teórica si es posible determinarlo sin hacer el experimento.

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He empezado a averiguar cómo construir el programa en coordenadas cartesianas. Básicamente tenemos una matriz unidimensional de puntos (recogidos en todas las iteraciones anteriores) y entre cada punto vecino construimos una perpendicular con la longitud $l_n=l_{n-1}/ \sqrt{3}$ . A continuación, añadimos este nuevo punto a nuestra matriz exactamente entre los dos puntos, y continuamos más abajo en la matriz.

Si dos puntos iniciales tienen las coordenadas $(x_1,y_1)$ y $(x_2,y_2)$ entonces el nuevo punto será:

$$x=\frac{x_1+x_2}{2} \pm \frac{y_1-y_2}{2 \sqrt{3}}$$

$$y=\frac{y_1+y_2}{2} \pm \frac{x_1-x_2}{2 \sqrt{3}}$$

La elección de los signos no siempre es fácil, todavía no he determinado la regla universal. Aquí está el resultado de 4 iteraciones completas y el inicio de la quinta, hecha a mano:

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Una corrección importante basada en el comentario de abajo: la figura empieza a superponerse. Pero como los triángulos se suman perfectamente para rellenar los "surcos", añadamos simplemente una regla para dejar de construir nuevos triángulos en los lugares donde los antiguos se tocan con sus lados.

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Utilicé LibreOffice Draw para conseguir más iteraciones de forma burda (copiando y escalando todo el patrón anterior) y conseguí esto justo en el tercer paso. Parece un límite fractal después de todo (aunque la impresión podría ser errónea, ya que más iteraciones deberían cubrir todos los "surcos").

Debido a la revelación de la superposición he añadido también una segunda pregunta: ¿cuál es el área del fractal si no contamos los triángulos que se superponen a los anteriores?

Answer 1

Esta no es una respuesta completa, pero estoy seguro de que contiene algunos detalles relevantes. Me gustaría tener un poco más de tiempo para pensar en este interesante problema.

En primer lugar, su conjunto original autosimilar puede generarse utilizando un esquema de sistema de funciones iteradas con funciones

\begin{align*} f_0(x,y) &= \left( \begin{array}{cc} \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \end{array} \derecha)\N-izquierda( \begin{array}{c} x \\ y \\ \end{array} \right) \\N - f_1(x,y) &= \N - f_1(x,y) f_1(x,y) &= \left( \begin{array}{cc} \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \end{array} \derecha)\N-izquierda( \begin{array}{c} x \\ y \\ \end{array} \derecha) + \izquierda( \begin{array}{c} \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2 \sqrt{3}} \\ \end{array} \(derecha) |align*}

Una imagen de este conjunto tiene este aspecto:

Puede generar imágenes de conjuntos autosimilares utilizando la aplicación en esta página web . Observe que la página web tiene un menú de "ejemplos" y el último ejemplo (etiquetado como "ejemplo de pila") es este mismo ejemplo.

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Este tipo de imágenes puede generarse mediante el esquema IFS. Es decir, trazamos la colección de conjuntos de la forma $$S_{i_1,i_2,\ldots,i_k} = f_{i_1}\circ f_{i_2}\circ\cdots\circ f_{i_k}(S),$$ donde $S$ es un conjunto inicial de semillas. Por ejemplo, si $k=5$ por lo que queremos generar una aproximación de nivel 5 y $S$ es el intervalo unitario en el $x$ -eje en el plano, obtenemos una imagen como la siguiente:

Obsérvese el segmento marcado con un círculo rojo. Ese segmento es exactamente el lugar donde chocan dos funciones del nivel 5 del IFS. Es decir:

$$f_1\circ f_0\circ f_0\circ f_0\circ f_0(S) = f_0\circ f_1\circ f_1\circ f_1\circ f_1\circ f_1(S).$$

Si queremos generar su conjunto "límite", entonces no queremos secuencias de ceros y unos que empiecen por $(0,0,0,0,1)$ o $(1,1,1,1,0)$ . Por autosimilitud, probablemente no queramos que esas secuencias aparezcan en ninguna parte de la dirección de un punto.

Pero hay más. El segmento rodeado forma la base de una Y; las dos ramas de la Y chocarán en dos pasos más. En consecuencia, también queremos excluir las secuencias de la forma $(1, 1, 0, 1, 1, 1, 0)$ o $(0, 0, 1, 0, 0, 0, 1)$ .

Teniendo en cuenta todo esto, pude generar la siguiente imagen:

Esto se genera de la siguiente manera:

• Primero genere todas las funciones de la forma $$f_{i_1}\circ f_{i_2} \circ\cdots\circ f_{i_{11}},$$ donde cada $i_k$ es un cero o un uno. Llama a este conjunto $F$
• El material negro es $$\bigcup_{f\in F}f(S).$$
• Para formar el material rojo, primero formamos el subconjunto $G\subset F$ donde simplemente se excluyen las subsecuencias del tipo descrito anteriormente. Entonces formamos $$\bigcup_{f\in G}f(S).$$

Un examen más detallado muestra que hay más cosas que excluir pero, de nuevo, me estoy cansando un poco.

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Debo mencionar que hay una historia de examinar subconjuntos interesantes de conjuntos autosimilares utilizando exactamente este tipo de restricción. Para un par de ejemplos, véase

• La geometría de las baldosas autoafines y
• Intersecciones autosimilares