La raíz más pequeña de un conjunto de polinomios

Question

Estoy buscando $$ t:= \inf\{\alpha \in \mathbb{R} : \exists P \in \mathcal{P}_{0,1}, \, P(\alpha)=0\}$$ donde $\mathcal{P}_{0,1}$ es el conjunto de todos los polinomios reales con coeficientes en $\{0,1\}$ . Por el teorema de Rouche, se puede demostrar fácilmente que las raíces de cualquier polinomio de $ \mathcal{P}_{0,1}$ se encuentran dentro del disco abierto de radio $2$ centrado en el origen. Sin embargo, creo que $t$ es en realidad igual a $-1$ (No encuentro ningún polinomio con una raíz real más pequeña... ) ¿Alguien tiene alguna idea?

Answer 1

Dejemos que $f(x) = \sum\limits_{k=0}^m c_k x^k \in \mathcal{P}_{0,1}$ sea cualquier polinomio cuya raíz real más negativa $\alpha < -1$ .

Si $c_0 = 0$ podemos factorizar $f(x)$ comme $x^n g(x)$ para algunos $n > 0$ y $g(x) \in \mathcal{P}_{0,1}$ que satisface $g(0) = 1$ .
Desde $g(x)$ también tiene $\alpha$ como su raíz real más negativa, WOLOG, supondremos $c_0 = c_m = 1$ .

Dejemos que $\beta = -\frac{1}{\alpha} \in (0,1)$ . Consideremos el polinomio $h(x) \stackrel{def}{=} x^m f(\frac1x) = \sum_{k=0}^m c_{m-k} x^k$ . También $\in \mathcal{P}_{0,1}$ y teniendo $-\beta$ como su raíz real negativa más positiva. Descomponer $h(x)$ comme $1 + xp(x^2) + q(x^2)$ donde $p(x), q(x) \in \mathcal{P}_{0,1}$ tenemos

$$h(-\beta) = 1 - \beta p(\beta^2) + q(\beta^2) = 0 \quad\implies\quad \beta p(\beta^2) \ge 1$$ Desde $p(\beta^2) < \sum_{k=0}^\infty \beta^{2k} = \frac{1}{1-\beta^2}$ Esto lleva a $$\frac{\beta}{1-\beta^2} > 1 \quad\iff\quad \beta > \frac{1}{\phi} \quad\implies\quad \alpha > -\phi $$ Como resultado, tenemos

$$t \stackrel{def}{=} \inf\{\alpha \in \mathbb{R} : \exists P \in \mathcal{P}_{0,1}, \, P(\alpha)=0\} \ge - \phi\tag{*1}$$

Para cualquier $n > 1$ , considere el polinomio

$$f_n(x) = 1 + x^{2n} + x \sum_{k=0}^{n-1} x^2 = 1+x^{2n} + \frac{x}{x^2-1} (x^{2n}-1)$$ Desde $\frac{\phi}{\phi^2-1} = 1$ tenemos $f_n(-\phi) = 2$ . Aviso

$$f'_n(x) = 2n x^{2n-1}\left(1 + \frac{x}{x^2-1}\right) + \left(\frac{1}{x^2-1} - \frac{2x^2}{(x^2-1)^2}\right) (x^{2n} - 1 )$$ Tenemos $f'_n(-\phi) = -(3-\phi)(\phi^{2n}-1)$ .

Dado que esto es negativo y que brilla exponencialmente en magnitud como $n \to \infty$ , $f_n(x)$ tiene una raíz negativa $\alpha_n$ cerca de $-\phi$ que satisface:

$$\alpha_n + \phi \approx \frac{2}{(3-\phi)(\phi^{2n}-1)} \to 0\quad\text{ as }\quad n \to \infty$$

Esto implica

$$t \le \lim_{n\to\infty} \alpha_n = -\phi\tag{*2}$$

Combine $(*1)$ y $(*2)$ tenemos $t = -\phi$ .