Es bien sabido que cada monotonía de la función $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ es derivable en casi todas partes (con respecto a la medida de Lebesgue). También es conocido si $E$ tiene una medida de $0$, entonces existe un continuo, la monotonía de la función es diferenciable en ningún punto de $E$.
Las pruebas de estos resultados, al menos los que yo he visto, son un poco demasiado técnico para el primer año de cálculo estudiantes de digerir. Por otro lado, estoy dispuesto a conformarse con un resultado mucho más débil:
Cada monotonía de la función es diferenciable en algún momento.
Hay un modo elemental evitando toda teoría de la medida, y preferiblemente también para evitar la Baire teorema u otros conceptos topológicos que no se conoce a la mayoría de cálculo estudiantes mostrando esto?
Edit: para aclarar, me gustaría evitar que las integrales. Ver el ejemplo muy motivador más abajo. Si tenemos la integral de Riemann a nuestra disposición, hay muchas maneras más simples para definir $x^y$, lo que le da la diferenciabilidad con menos esfuerzo.
Si usted necesita para asumir la continuidad para simplificar la prueba, que está bien.
(Uno de los posibles) motivación
Vamos a tratar de definir la exponenciación $x^y$ $x >0$, $y \in \mathbb{R}$.Si $y$ es un entero positivo, por supuesto $$ x^n = \underbrace{x \cdot x \cdots x}_{n~\text{times}}. $$ Suponiendo que hemos tratado con $q$:th raíces de los números reales, la extensión a los exponentes racionales es también sencilla: $$ x^{p/q} = \big(\sqrt[q]{x}\big)^p $$ Por último, es un poco tedioso, pero no demasiado malo para extender primero a los números racionales negativos $x^{-r} = 1/x^r$ y, finalmente, a la real exponentes por la "continuidad". Haciendo todo esto va a dar (por un determinado $x$) continua la monotonía de la función $f(y) = x^y$ que satisface la ecuación funcional $$f(y_1+y_2) = f(y_1)f(y_2).$$ ¿Cómo podemos demostrar que esta función $f$ es diferenciable? (Ver el Espectáculo $\lim\limits_{h\to 0} \frac{(a^h-1)}{h}$ existe sin l'Hôpital o incluso el posicionamiento $e$ o natural de registro para una versión ampliada de esta pregunta). Entre las respuestas es una forma inteligente de hacerlo con la convexidad, pero todavía estoy curioso por saber si es posible dar una solución primaria sólo por la explotación de monotonía.
Si podemos demostrar que $f$ es diferenciable en un punto, entonces la ecuación funcional implica diffentiability everwhere.
