Convergencia no uniforme en un espacio métrico compacto

Question

$K$ es un espacio métrico compacto y se nos da un par de funciones continuas f y g: $K \rightarrow \mathbb{R}$ tal que f (x) es mayor que g (x) para todos los $x \in X$; Demostrar que existe un $\epsilon$ tal que $f(x)$el % es mayor que $g(x) + \epsilon$ % todo $x \in X$

Que iba a construir dos secuencias de funciones continuas $f_n$ y $g_n$ y de alguna manera mostrar que no convergen uniformemente en el mismo punto pero luego me perdí

¡Gracias por tu ayuda de antemano!

Answer 1

Que $h(x):=f(x)-g(x)$ % todos $x\in K$. Entonces $h$ es continua y positiva. Ya que trabajamos en un espacio compacto, se alcanza el valor mínimo de $h$ a decir $x_0\in K$. Así podemos poner $\varepsilon:=\frac{h(x_0)}2>0$: $f(x)\geq g(x)+h(x_0)>g(x)+\varepsilon$.

Answer 2

Aquí es un enfoque diferente.

Que $U_n =\{x\in X\mid$ $f(x) > g(x) + \frac{1}{n}\}$.

Probar en primer lugar, está abierto cada $U_n$$n$ y $U_m\subseteq U_n$ cuando $m\leq n$. Entonces prueba $\bigcup_n U_n = X$. Por último, utilizar compacidad de $X$ para mostrar que $\bigcup_n U_n = U_k$ $k$. Luego trabaja $\epsilon = \frac{1}{k}$.

Answer 3

Sólo por diversión, aquí está una "tercera vía". (Aunque, esto puede ser un poco más complicado y/o necesidades de un poco de justificación.) Desde $f$ $g$ son funciones continuas $K\to\mathbb R$ $K$ es compacto, sus gráficos $\Gamma_f$ $\Gamma_g$ debe ser compacto. Ahora, debido a $f$ es siempre mayor que $g$, $\Gamma_f$ y $\Gamma_g$ son también distintos. Pero, a continuación, $\Gamma_f$ $\Gamma_g$ debe ser positiva distancia, lo que demuestra la demanda.

Agregado: para evitar confusiones, voy a añadir algunos comentarios adicionales. Los gráficos de $\Gamma_f$ $\Gamma_f$ son subconjuntos de a $K\times\mathbb R$. Hay muchas maneras de dotar de un producto de dos espacios métricos con un producto métrica. Por eso, $K\times\mathbb R$ es en sí mismo un espacio métrico. Ya que el producto métrica da lugar al producto de la topología en $K\times\mathbb R$, los mapas de $(id_K,f):K\to K\times\mathbb R$ $(id_K,g):K\to K\times\mathbb R$ son continuos, por lo que sus imágenes, que son, precisamente,$\Gamma_f$$\Gamma_g$, debe compacto. Ahora, si $X$ es un espacio métrico y $A,B\subseteq X$ tiene sentido definir $d(A,B)=\inf\limits_{a\in A, b\in B}d(a,b)$. Esto no es normalmente una métrica, pero podemos demostrar que si $A$ $B$ son compactos y discontinuo, $d(A,B)$ es positivo. (Aunque este último hecho es tan difícil de demostrar como el problema original, que es la razón por la que yo estoy diciendo que este enfoque puede ser un poco más complicado.)