Demostrar que $p$.v.\int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{2x}}{\cosh(\pi x)}dx=\text{sec}1$$ by integrating $\frac{e^{2z}}{\cosh(\pi z)}$ alrededor de rectángulos con vértices en a $z=\pm p,p+i,-p+i.$
Le hice esta pregunta similar, y se recomienda este enlace stackexchange, pero la respuesta siempre es confuso.
No estoy seguro de cómo llegaron a esos vértices, pero con los vértices tengo la parametrización:
$\begin{cases} \Gamma_1 = t, & -p\leq t\leq p \\\\ \Gamma_2= p+it, &0\leq t \leq 1 \\\\ \Gamma_3 = i-t, & -p\leq t\leq p \\\\ \Gamma_4=i(1-t)-p, & 0\leq t\leq 1. \end{cases}$
Así que he a $\Gamma_p =\Gamma_1 +\Gamma_2+\Gamma_3+\Gamma_4 .$
$f(z)=\frac{e^{2z}}{\cosh(\pi z)} = \frac{2e^{z(2+i\pi)}}{e^{2i\pi z}+1}$, donde el denominador tiene un $\text{pole}=(2n+1)\frac{1}{2}$.
Y esto es lo más lejos que pueda conseguir.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Considere la integral
$$\oint_C dz \frac{e^{2 z}}{\cosh{\pi z}}$$
donde $C$ es la descrita anteriormente rectángulo. Por un lado, esta integral es igual a la integral sobre cada una de las piernas del contorno, viz.:
$$\int_{-p}^p dx \frac{e^{2 x}}{\cosh{\pi x}} + i \int_0^1 dy \frac{e^{2 (p+i y)}}{\cos{\pi (p+i y)}} + \int_{p}^{-p} dx \frac{e^{2 (x+i)}}{\cosh{\pi (x+i)}} + i \int_1^0 dy \frac{e^{2 (-p+i y)}}{\cos{\pi (-p+i y)}}$$
Tomar el límite de $p \rightarrow \infty$. Debe quedar claro que la 2ª y la 4ª integrales - aquellos sobre la vertical de las piernas de $C$ - desaparecerán dentro de este límite. Que sale el 1 y el 3 de integrales sobre las secciones horizontales; estos pueden ser combinados para producir
$$\left(1+e^{i 2}\right) \int_{-\infty}^{\infty} dx \frac{e^{2 x}}{\cosh{\pi x}}$$
Esto equivale, por el teorema de los residuos, los residuos en el único polo dentro de $C$, es decir, $z=i/2$:
$$i 2 \pi \lim_{z->i/2} \frac{e^{2 z}}{\cosh{\pi z}} = i 2 \pi\frac{e^{i}}{\pi \sinh{(i \pi/2)}} = 2 e^{i}$$
Por lo tanto
$$\int_{\infty}^{\infty} dx \frac{e^{2 x}}{\cosh{\pi x}} = \frac{2 e^{i}}{1+e^{i 2}}= \sec{1}$$
Debe tener en cuenta que no $PV$ se necesita aquí.
