Métodos reales para evaluar $\int_{0}^{\infty}\frac{\log x \sin x}{e^x}\mathrm{d}x$

Question

Recientemente me encontré con la siguiente integral $$\int_{0}^{\infty}\frac{\log x \sin x}{e^x}\mathrm{d}x$$ One way to do it is to rewrite $\el pecado de dólares en términos de exponente y, a continuación, relacionar a la derivada de la función Gamma. Sin embargo, este invoca el análisis complejo. Hay otras maneras de usar sólo real de las técnicas de análisis para la solución de esta integral.

En el enfoque estándar tratamos de manipular $\int_{0}^{\infty}x^ae^{-x} \sin x\mathrm{d}x$, para llegar a la función Gamma, pero no tengo ni idea de cómo hacerlo sin tener que reescribir $\sin x$. Y si es sólo escribirlo, y el uso de algunos trivial operaciones aritméticas con números complejos como si fueran reales, está bien, pero no veo cómo hacerlo.

Tal vez deberíamos trabajar con el original de la integral. Sin embargo, creo que en algún punto de llegar con la Gamma, como la respuesta contiene Euler-Macheroni constante, lo que está relacionado con los derivados de la Gamma, y no veo cómo de lo contrario podríamos llegar a este particular constante.

Answer 1

\begin{align}\int^\infty_0 e^{-x}\log(x)\sin(x)\,dx &= \int^\infty_0 e^{-x}\sin(x)\int^{\infty}_{0}\frac{e^{-z}-e^{-xz}}{z}\, dz\,dx \\ &=\int^\infty_0\frac{1}{z} \left(e^{-z}\int^{\infty}_{0}e^{-x}\sin(x)\,dx-e^{-x(z+1)}\sin(x)\, dx\right)\,dz\\&=\int^\infty_0\frac{1}{z} \left(\frac{e^{-z}}{2}-\frac{1}{(z+1)^2+1}\right)\,dz\\&=\frac{1}{2}\int^\infty_0\log(z) e^{-z}\,dz-\int^\infty_0 \frac{2(1+z)\log(z)}{((1+z)^2+1)^2}\,dz \end {Alinee el}

La primera integral se puede evaluar en términos de la función digamma, el segundo tiene un anti derivado.

Answer 2

Esto podría ser demasiado complejo.

Considerar $$I=\int\frac{\log (x) \sin (x)}{e^x}\,dx\qquad \qquad J=\int\frac{\log (x) \cos (x)}{e^x}\,dx$$ $$K=J+i I=\int e^{-(1-i) x} \log (x)\,dx$$ One integration by parts will give $$K=-\left(\frac{1}{2}+\frac{i}{2}\right) e^{-(1-i) x} \log (x)+\left(\frac{1}{2}+\frac{i}{2}\right)\int\frac{e^{-(1-i) x}}{x}\,dx$$ that is to say $% $ $K=-\left(\frac{1}{2}+\frac{i}{2}\right) e^{-(1-i) x} \log (x)+\left(\frac{1}{2}+\frac{i}{2}\right)\text{Ei}(-(1-i) x)$donde aparece la integral exponencial.

Con los límites, uno debe llegar a $$\int_0^\infty e^{-(1-i) x} \log (x)\,dx=-\left(\frac{1}{8}+\frac{i}{8}\right) (4 \gamma -i \pi +\log (4))$ $ es decir $$\int_0^\infty\frac{\log (x) \cos (x)}{e^x}\,dx=-\frac{1}{8} (4 \gamma +\pi +2\log (2))$ $ $$\int_0^\infty\frac{\log (x) \sin (x)}{e^x}\,dx=-\frac{1}{8} (4 \gamma -\pi +2\log (2))$ $