¿$\sum\limits_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^n n^2}{( \ln(n))^n}$ Es divergente?

Question

La serie en cuestión es $\sum\limits_{n=2}^{\infty}\frac{(-1)^n n^2}{( \ln(n))^n}$ creo que esto diverge. Así que usando la divergencia probar, estoy tratando de mostrar ese límite de la general del término de la serie no es 0. Por algunas manipulaciones algebraicas tenemos:

• $\lim (-1)^n(n^2)( \ln(n))^{-n}$
• $\lim (-1)^n(n)/ \ln(n)$

No estoy seguro de cómo proceder de aquí. Si te liberas de la alternancia, el límite es de $\infty$. Sin embargo, no estoy seguro cómo manipular esto para mostrar que (sospecho) el límite no existe.

Answer 1

La serie converge por la alternancia de la serie de prueba. Tomar registros de los valores absolutos de los términos para obtener $2\ln(n)-n\ln(\ln(n))$. Considere la función $f(x)=2\ln(x)-x\ln(\ln(x))$, derivado $f'(x)=\frac{2}{x}-\ln(\ln(x))-\frac{1}{\ln(x)}$. Desde $f$ $-\infty$ $f'$ finalmente es siempre negativo, la continuidad y la monotonía de la función exponencial, nos dicen que los términos de la secuencia que tiene valor absoluto eventualmente disminuir a 0, por lo que la alternancia de la serie de prueba se aplica.

La segunda expresión que dar para el límite de no ir a cero, y no está claro de dónde vino.

Answer 2

$$\left| \frac{(-1)^n n^2}{( \ln(n))^n} \right| = \frac{n^2}{( \ln(n))^n} < \frac{n^2}{2^n} \, \mbox{ for all } n>e^2 \,.$$

$\sum \frac{n^2}{2^n}$ Es convergente, se obtiene que la serie es absolutamente convergente.

Answer 3

Quiere demostrar que $n^2 (\ln (n))^{-n}$ es monótonamente decreciente y utilizar Leibniz' prueba. Como es mayor que $\ln (n)$ $1$, la exponencial dominará el polinomio. Entonces escoger su lugar partida preferido fijar $\ln (n)$ $\ln(a)$ $a$ y sostienen que el término real es menor en valor absoluto que esto. Ahora muestran que la versión con $\ln(a)$ también va a cero.

Answer 4

Si $a_n$ es una secuencia, a continuación, $\lim_{n\to\infty}a_n = 0$ si y sólo si $\lim_{n\to\infty} |a_n| = 0$. De modo que si el valor absoluto de los términos no vaya a cero, entonces los términos no vaya a cero.

En otras palabras, si usted sabe que $\lim \frac{n}{\ln (n)}\neq 0$, entonces se sigue que $\lim\frac{(-1)^n n}{\ln n}\neq 0$. (porque el primero es el límite de los valores absolutos de la segunda). Así que si su reducción es exacta, y la prueba de que el límite sin el $(-1)^n$ factor no es cero es exacta, entonces usted está listo.

Dicho esto, no estoy seguro de cómo te las arreglas para llegar a ese límite. Si tuvieras $(\ln(n^n))^{-1}$, entonces yo estaría de acuerdo; pero ¿cómo te las arreglas para deshacerse de la exponente y cancelar un $n$ si usted tiene \[ \frac{(-1)^n n^2}{(\ln n)^n} \text{?}\]

Añadido: Bien, parece que los granos han sido derramada; su "algunas manipulaciones algebraicas" eran incorrectos. Recuerde que si bien $\ln(a^k) = k\ln(a)$, es no cierto que $(\ln a)^k = k\ln a$. $\ln(a^k)$ es el logaritmo de la $k$th poder de $a$; $(\ln a)^k$ es el $k$la potencia del logaritmo de $a$; generalmente son diferentes.

Answer 5

Aplicando la prueba de raíz se puede ver que la serie converge.

$$L = \lim_{n\to\infty} |a_{n}|^{1/n} .$$

Si $L<1$, entonces la serie es absolutamente convergente.

Si $L>1$ la serie es divergente.

Si $L=1$ entonces la prueba no es concluyente. Sin embargo, si $|a_{n}|^{1/n}\geq 1$ para infinitamente muchos valores distintos de n, entonces la serie $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ diverge.

En su serie, tienes

$$L = \lim_{n\to\infty}\bigg| \frac{(-1)^{n}n^{2}}{\text{ln}^{n}(n)}\bigg|^{\frac{1}{n}}$$

Entonces $L=\lim \limits_{n\to\infty}\bigg|\displaystyle\frac{(-1)n^\frac{2}{n}}{\text{ln}(n)}\bigg|=0$ (porque $\lim \limits_{n\to\infty}\ln(n)=\infty$).

Por lo tanto, $L<1$ y las convergencias de la serie.