Mostrar que si $a_{n}$ es una secuencia de términos positivos que $\lim\limits_{n\to\infty} (a_{n+1}/a_n) $ existe, entonces este límite es igual a $\liminf\limits_{n\to\infty} a_n^{1/n}$.
No estoy seguro del evento dónde empezar, cualquier ayuda sería mucho apreció.
La prueba de libros de texto típica va como sigue.
Si $\lim \frac{a_{n+1}}{a_n} = q \gt 0$, luego le da un $\epsilon \gt 0$ tal que $q \gt \epsilon$, hay un $n_0$ tales que para todos los $n \ge n_0$
$$q - \epsilon \lt \frac{a_{n+1}}{a_n} \lt q+\epsilon$$
Multiplicando nos da
$$a_{n_0}(q - \epsilon)^{n-n_0} \lt a_{n} \lt (q+\epsilon)^{n-n_0} a_{n_0}$$
y así
$$a_{n_0}^{1/n}(q - \epsilon)^{1-n_0/n} \lt a_{n}^{1/n} \lt (q+\epsilon)^{1-n_0/n} a_{n_0}^{1/n_0}$$
Y así (tomando el límite como $n \to \infty$)
$$ q - \epsilon \le \liminf (a_n)^{1/n} \le \limsup (a_n)^{1/n} \le q + \epsilon $$
$\epsilon$ Era arbitraria, tenemos que $q = \lim a_n^{1/n}$.
El caso $q=0$, substituimos el lado izquierdo por $0$, y realiza la prueba.
A prueba de Definamos la nueva secuencia $(b_n)_{n=1}^{\infty}$ $b_1=a_1$ y $b_n=\frac{a_{n+1}}{a_n}$ % todos $n>1$.
Ahora, consideramos el siguiente como conocido,
Si $(x_n)_{n=1}^{\infty}$ es una secuencia de números positivos y $\lim x_n=L$, entonces,
$$\lim\sqrt[n]{x_1x_2...x_n}=L$$.
Con esa declaración, continuaremos y decir,
$$\lim\sqrt[n]{b_1b_2...b_n}=\lim b_n=\lim \frac{a_{n+1}}{a_n} $$
Y claro que,
$$ b_1b_2...b_n=a_{n+1}$$
Por lo tanto,
$$ \lim \sqrt[n]{a_{n+1}}=\lim\frac{a_{n+1}}{a_n}$$
Vi esta prueba a día de hoy y el pensamiento es buena:
Vamos $a_n\ge 0$, $\lim\limits_{n \to \infty}a_n=L$. Así que hay 2 opciones:
(1) $L>0$: $$ \lim\limits_{n \to \infty}a_n=L \ffi \lim\limits_{n \to \infty}\frac{1}{a_n}=\frac{1}{L}$$ El uso de Cauchy de la Desigualdad De la Aritmética Y Geométrica Significa que tenemos:
$$\frac{n}{a_1^{-1}+\dots+a_n^{-1}}\le\sqrt[n]{a_1\cdots a_n}\le \frac{a_1+ \cdots + a_n}{n}$$ La aplicación de Cesaro Teorema en $a_n$, aviso que RHS $\mathop{\to_{n \to \infty}} L$ , y que mediante la aplicación de Cesaro Thm en $1/a_n$, LHS$\mathop{\to_{n \to \infty}} \frac{1}{1/L}=L$ . Y así, desde el apretón de thm: $$\lim\limits_{n \to \infty}\sqrt[n]{a_1\cdots a_n}=L$$
(2) $L=0$:
$$0\le\sqrt[n]{a_1\cdots a_n}\le \frac{a_1+ \cdots + a_n}{n} $$
$$\Longrightarrow\lim\limits_{n \to \infty}\sqrt[n]{a_1\cdots a_n}=0=L$$
Ahora, definir:
$$b_n = \begin{cases}{a_1} &{n=1}\\\\ {\frac{a_n}{a_{n-1}}} &{n>1}\end{cases}$$ y asumir la $\lim\limits_{n \to \infty}b_n=B $.
Aplicando el resultado anterior en $b_n$ obtenemos: $$\frac{n}{b_1^{-1}+\dots+b_n^{-1}}\le\sqrt[n]{b_1\cdots b_n}\le \frac{b_1+ \cdots + b_n}{n}$$ $$\frac{n}{b_1^{-1}+\dots+b_n^{-1}}\le\sqrt[n]{a_1\cdot (a_2/a_1)\cdots (a_n/a_{n-1})}\le \frac{b_1+ \cdots + b_n}{n}$$ $$\frac{n}{b_1^{-1}+\dots+b_n^{-1}}\le\sqrt[n]{a_n}\le \frac{b_1+ \cdots + b_n}{n}$$ $$\Longrightarrow\lim\limits_{n \to \infty}\sqrt[n]{a_n}=B$$
Así que podemos concluir que si $\lim\limits_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}$ existe y es igual a $L$,$\lim\limits_{n \to \infty}\sqrt[n]{a_n}=L$.
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