¿Cómo es los números de Bernoulli? ¿Por ejemplo, frente al $B_2$?

Question

¿Cómo es los números de Bernoulli? ¿Por ejemplo, frente al $B_2$? Por ejemplo, encontró que en internet $$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{B_n\;x^n}{n!}=\frac{x}{e^x-1}$$ but if I want to find $ B_2$ then $% $$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{B_2~x^2}{2}=\frac{x}{e^x-1}$y creo que no es mucha ayuda. Quiero aprender a calcular números de Bernoulli para aprender a calcular el $\zeta(2n)$.

Answer 1

Tenga en cuenta que $$\frac{e^z-1}z=\frac1 z\sum_{n=1}^\infty\frac1{n!}z^n=\sum_{n=1}^\infty\frac1{n!}z^{n-1}=\sum_{n=0}^\infty\frac1{(n+1)!}z^n$$ y podemos utilizar Mertens' teorema de la multiplicación para obtener $$1=\left(\sum_{n=0}^\infty\frac{B_n}{n!}z^n\right)\left(\sum_{n=0}^\infty\frac1{(n+1)!}z^n\right)=\sum_{n=0}^\infty\sum_{k=0}^n\left(\frac{B_k}{k!}\frac{1}{(n-k+1)!}\right)z^n$$ Por el teorema de identidad, el $n=0$ término de la derecha debe ser igual a $1$ mientras que todos los demás términos debe desaparecer. El $n=0$ término de la derecha es sólo $B_0$, lo $B_0 = 1$, y para $n > 1$, debemos tener $\sum_{k=0}^n\frac{B_k}{k!}\frac{1}{(n-k+1)!}=0$. Multiplicando esto por $(n + 1)!$ tenemos $$0=\sum_{k=0}^n\frac{B_k}{k!}\frac{1}{(n-k+1)!}=\sum_{k=0}^n\frac{(n+1)!}{k!(n-k+1)!}B_k=\sum_{k=0}^n\binom{n+1}kB_k$$ y añadiendo $B_{n+1}=\binom{n+1}{n+1}B_{n+1}$ a ambos lados de esta ecuación, obtenemos $$B_{n+1}=\sum_{k=0}^{n+1}\binom{n+1}kB_k$$ Del lado derecho se puede mirar familiar a partir de la fórmula binominal. El recuerdo de la fórmula binominal que para cualquier número complejo a $a$, tenemos $$(a+1)^{n+1}=\sum_{k=0}^{n+1}\binom{n+1}ka^k1^{n+1-k}=\sum_{k=0}^{n+1}\binom{n+1}ka^k$$ Observe que el lado derecho de esta expresión es exactamente el lado derecho de la ecuación anterior si se ponen a $a = B$ y hacemos el superíndice $k$ en un subíndice $k$. Así, si utilizamos la notación $\Doteq$ a la media es igual después de hacer los superíndices en los subíndices, entonces podemos escribir $$\boxed{B^{n+1}\Doteq (B+1)^{n+1},n=1,2,3,...,B_0=1}$$ El uso reciente de identidad, uno puede, en principio, encontrar todos los números de Bernoulli: Cuando $n = 1$, vemos que $$B^2\Doteq(B+1)^2=B^2+2B^1+1\Rightarrow0=2B_1+1\Rightarrow B_1=\frac{-1}2.$$ Al $n = 2$, vemos que $$B^3\Doteq(B+1)^3=B^3+3B^2+3B^1+1\Rightarrow3B_2+3B_1+1=0\Rightarrow B_2=\frac1 6.$$

Answer 2

Como sugiere desarrollar anon, $\dfrac{x }{e^x - 1}$ como una serie de Taylor. Entonces obtienes para el lado derecho

$$1 - \frac x 2 + \frac{x^2}{12} - \frac{x^4}{ 720} + \frac{x^6}{ 30240} - \frac{x^8}{ 1209600} + \cdots$$

La escritura de lhs

$$B_0 + B_1 x + B_2\frac{x^2}{2!} + B_3 \frac{x^3}{3!} + B_4\frac{x^4}{4!} +\cdots$$

Entonces $$B_0 = 1, B_1 = -1/2, B_2 = 1/6, B_3 = 0, B_4 = -1/30 ....$ $

Answer 3

No hay una fórmula explícita $$ B_m = \sum_{k=0}^m\sum_{v=0}^k(-1)^v\binom kv\frac{ v ^m}{k+1} $$

Edit. Poner $P(k,v)=\displaystyle (-1)^v\binom kv\frac{ v ^m}{k+1}.$

Entonces $B_2=P \left( 0,0 \right) +P \left( 1,0 \right) +P \left( 1,1 \right) +P \left( 2,0 \right) +P \left( 2,1 \right) +P \left( 2,2 \right).$

Teniendo en cuenta el cálculo ${\P} \left( 0,0 \right) =0,{\P} \left( 1,0 \right) =0,{\it P } \left( 1,1 \right) =-1/2,{\P} \left( 2,0 \right) =0,{\P} \left( 2,1 \right) =-2/3,{\P} \left( 2,2 \right) =4/3 $ usted obtener facilmente $B_2.$

Answer 4

Comparar $$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{B_nx^n}{n!}=B_0+B_1x+\frac{B_2x^2}2+\frac{B_3x^3}6+\cdots\left(=\frac{x}{\mathrm e^x-1}\right) $$ con $$ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{B_2x^n}{2}=\frac{B_2}2+\frac{B_2x}2+\frac{B_2x^2}2+\frac{B_2x^3}2+\cdots\left(=\frac{B_2}{2(1-x)}\right)$$ Para encontrar $B_2$, calcular $f''(0)$$f:x\mapsto\dfrac{x}{\mathrm e^x-1}$, o expandir $f(x)$ en los poderes de $x$ a la potencia $x^2$ (esto implicará la ampliación de $\mathrm e^x$ en los poderes de $x$ a la potencia $x^3$, pero no más). Y, de hecho, el resultado es $B_2=\dfrac16$.

Answer 5

Creo que la respuesta más elegante y es el método más simple para evaluando números de Bernoulli:-

• $0 = 1B_0 + 2B_1$

• $0 = 1B_0 + 3B_1 + 3B_2$

• $0 = 1B_0 + 4B_1+ 6B_2+ 4B_3$

es decir, para calcular el $B_n, n>0$, usted tiene que hacer la ampliación de hasta que el triángulo grado % de Pascal $n+1$y calcular las ecuaciones en el patrón anterior....

De que se puede deducir que $B_2 = \frac{1}{6}$