Topología del cofinite en $X \times X$ $X$ un infinito set

Question

Deje $X$ ser un conjunto infinito. Y considerar la posibilidad de $(X \times X)_{cof}$$X_{cof} \times X_{cof}$. Puedo ver que $(X \times X)_{cof}$ es no más fino que el de $X_{cof} \times X_{cof}$.

MI PREGUNTA: Pero es $X_{cof} \times X_{cof}$ más fino (por lo tanto, estrictamente más fino) de $(X \times X)_{cof}$ ?

Específicamente, un conjunto abierto $U$ $(X \times X)_{cof}$ será tal que $(X\times X)-U$ es finito, lo que significa aquí que $(X\times X)-U$ es algunas conjunto finito de pares ordenados. Pero yo estoy luchando para formalmente mostrar que un conjunto puede ser escrito como un conjunto abierto en $X_{cof} \times X_{cof}$, es decir, como una unión de los productos de los dos conjuntos cuyos complementos son subconjuntos finitos de $X$. Agradecería cualquier ayuda.

Answer 1

Tal vez es un poco más sencillo pensar sobre cerrado conjuntos. Para cualquier par de puntos de $x,y\in X$ ambos $\{x\}$ $\{y\}$ están cerrados en $X_{cof}$. Por definición de topología de productos, tanto en $\{x\}\times X$ $X\times \{y\}$ están cerrados en $X_{cof}\times X_{cof}$. Por lo tanto, su intersección $$(\{x\}\times X)\cap (X\times \{y\})=\{(x,y)\}$$ está cerrada. En particular, desde finito uniones de conjuntos cerrados son cerrados, cada conjunto finito en $X\times X$ es cerrado en $X_{cof}\times X_{cof}$. Esto demuestra que $X_{cof}\times X_{cof}$ es más fino que el de $(X\times X)_{cof}$.

También es estrictamente más fino ya que por ejemplo, $\{x\}\times X$ es cerrado en $X_{cof}\times X_{cof}$, pero ya que es infinito no puede ser cerrado en $(X\times X)_{cof}$.

Answer 2

Abierto $U$ $(X\times X)_{cof}$ no es necesariamente abierta en $X_{cof}\times X_{cof}$.

Deje $x\in X$, considerar el conjunto abierto $V=X\times X-\{(x,x)\}$ $(X\times X)_{cof}$ y supongamos que $V=(X-F_1)\times (X-F_2)$ para algunos finito $F_1,F_2$. Bien, $F_1$ $F_2$ debe contener $x$, y $$(X-F_1)\times (X-F_2)\subset (X-\{x\})\times(X-\{x\})$$ para todos los $F_1,F_2$, por lo que sólo necesitamos considerar $Y=(X-\{x\})\times(X-\{x\})$. Pero $Y\ne V$ porque, por ejemplo, hay un conjunto infinito en $X\times X-Y$, es decir,$\{x\}\times X$, mientras que el $X\times X-V=\{(x,x)\}$ es ciertamente finito. Por lo tanto, $V$ no es de la forma $(X-F_1)\times (X-F_2)$ finitas $F_1,F_2$, lo $V$ no está abierto en el $X_{cof}\times X_{cof}$.

La misma idea funciona para mostrar que $X\times X-F$ no puede ser $(X-F_1)\times (X-F_2)$ finitas $F,F_1,F_2$.