Imaginar el comienzo de una partida de billar, tiene 16 bolas, 15 de ellos en un triángulo <| y 1 de ellas la bola a la izquierda de ese triángulo. Imagina que el bastidor (el 15 de bolas en un triángulo), tiene toda la bola igualmente espaciadas y de que todas las pelotas tocando todas las demás bolas. De que todas las pelotas son perfectamente redondas. Ahora, imagina que la bola fue golpeada a lo largo de una fricción menor superficie en el eje central de este triángulo O\begin{align} E(A) &= \lim_{k\to\infty}\sum_{i\ge0} \frac{e^{-\frac{i}k}}k \\ &= \lim_{k\to\infty}\frac{1}{k}\sum_{i\ge0} \left(e^{-\frac{1}k}\right)^i \\ &= \lim_{k\to\infty}\frac{\frac1k}{\left(1-e^{-\frac{1}k}\right)} \\ &= \lim_{k\to\infty}\frac{\frac1{k^2}}{\frac1{k^2}\left(e^{-\frac{1}k}\right)} \\ &= \lim_{k\to\infty}e^{\frac{1}k} \\ &= 1 \end--<| y golpea el extremo izquierdo de la bola de la rejilla centro muerto en este eje. Cómo sería el rack de reaccionar? Me imagino que esto sería una extensión de newtons cuna y sólo el 5 bolas en el extremo serían los candidatos a moverse en absoluto. Pero en qué forma se mueven? Que bolas, por ejemplo, mover más lejos? Gracias
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Nota: Esta pregunta fue la cruz publicado por la OP en la Matemática de Intercambio de la Pila. Aquí está una copia de mi respuesta para ello.
Esto es. El perfectamente centrada billar descanso. He aquí.
El programa de instalación
Esta ruptura fue calculada en Mathematica el uso de un numérica de ecuaciones diferenciales del modelo. Aquí hay un par de detalles de la maqueta:
- De que todas las pelotas son asumidos para ser perfectamente elástica y casi perfectamente rígida.
- Cada bola tiene una masa de 1 unidad y un radio de 1 unidad.
- La bola tiene una velocidad inicial de 10 unidades/seg.
- La fuerza entre dos bolas está dado por la fórmula $$ F \;=\; \begin{cases}0 & \text{if }d \geq 2, \\ 10^{11}(2-d)^{3/2} & \text{if }d<2,\end{casos} $$ donde $d$ es la distancia entre los centros de las bolas. Tenga en cuenta que las bolas se superponen si y sólo si $d < 2$. El poder de la $3/2$ fue sugerido por Yoav Kallus en Matemáticas de Desbordamiento, porque sigue Hertz teoría de la no-adhesivo de contacto elástico.
La velocidad inicial de la bola es inmaterial -- desaceleración de la bola es la misma como ralentizar el tiempo. La constante fuerza de $10^{11}$ no tiene ningún efecto real siempre que sea lo suficientemente grande, aunque sí cambia la velocidad a la que la inicial de la colisión tiene lugar.
La Colisión
Para este modelo, toda la colisión tiene lugar en la primera 0.2 milisegundos, y ninguna de las bolas de superposición por más de 0,025% de su radio durante la colisión. (Estas cifras son dependiente del modelo -- real bolas de billar puede chocar más rápido o más lento que el de este.)
La siguiente animación muestra las fuerzas entre las bolas durante la colisión, con la fuerza proporcional al área de cada círculo amarillo. Tenga en cuenta que las bolas de sí mismos casi no se mueve en absoluto durante la colisión, a pesar de que acelerar un poco.
Las Trayectorias
La siguiente imagen muestra las trayectorias de las bolas de billar después de la colisión.
Después de la colisión, algunas de las bolas viaja mucho más rápido que otros. La siguiente tabla muestra la magnitud y la dirección de la velocidad de cada bola, donde $0^\circ$ indica hacia arriba.
$$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{ball} & \text{cue} & 1 & 2,3 & 4,6 & 5 & 7,10 & 8,9 & 11,15 & 12,14 & 13 \\ \hline \text{angle} & 0^\circ & 0^\circ & 40.1^\circ & 43.9^\circ & 0^\circ & 82.1^\circ & 161.8^\circ & 150^\circ & 178.2^\circ & 180^\circ \\ \hline \text{speed} & 1.79 & 1.20 & 1.57 & 1.42 & 0.12 & 1.31 & 0.25 & 5.60 & 2.57 & 2.63 \\ \hline \end{array} $$
Para la comparación, recuerde que la velocidad inicial de la bola fue de 10 unidades/seg. Por lo tanto, bolas de 11 y 15 de la vuelta de la esquina bolas) shoot out en más de la mitad de la velocidad original de la bola, mientras que la bola 5 lentamente rollos hacia arriba en menos de 2% de la velocidad original de la bola.
Por cierto, si usted agrega la suma de los cuadrados de las velocidades de las bolas, usted consigue 100, ya que la energía cinética se conserva.
Lineal y Cuadrática Respuestas
Los resultados de este modelo depende de la potencia de $3/2$ en la fuerza de la ley-otra fuerza que la ley le otorga a otros descansos. Por ejemplo, podríamos tratar de hacer la fuerza de una función lineal de la superposición distancia (en analogía con resortes y ley de Hooke), o podríamos tratar de hacer la fuerza es proporcional al cuadrado de la superposición de distancia. Los resultados son notablemente diferentes
Rígido Respuesta
Glenn el Udderboat señala que la "rigidez" pelotas podría ser la mejor manera aproximada por una fuerza de respuesta implica un mayor poder de la distancia (aunque esta no es la definición habitual de "rigidez"). Por desgracia, el tiempo de cálculo en Mathematica se hace más largo cuando se aumenta la potencia, presumiblemente debido a que es necesario utilizar un menor tiempo paso a ser lo suficientemente precisa.
Aquí es una simulación que implican un razonablemente de la "rigidez" de la fuerza de la ley $$ F \;=\; \begin{cases}0 & \text{if }d \geq 2, \\ 10^{54}(2-d)^{10} & \text{if }d<2.\end{casos} $$
Como se puede ver, el resultado es muy similar a mi respuesta inicial en Matemáticas de Intercambio de la Pila. Esto parece una buena evidencia de que el comportamiento descrito en mi respuesta inicial es de hecho el comportamiento limitante en el caso de que esta noción de "rigidez" tiende a infinito.
Como era de esperar, la mayoría de la energía en este caso se transfiere muy rápidamente al principio de la colisión. Casi toda la energía se mueve a la vuelta de la esquina bolas en la primera 0.02 milisegundos. Esta es una animación de las fuerzas:
Después de eso, la esquina de bolas y la bola de shoot out, y el resto de las bolas de seguir a chocar suavemente por la siguiente fracción de segundo o así.
Mientras que la simplicidad de este comportamiento es atractiva, me imagino que el "verdadero" bolas de billar no tienen una respuesta de fuerza. De los modelos que se citan aquí, la inicial Hertz-modelo basado en la es probablemente la más precisa. Cualitativamente, ciertamente parece lo más cercano a una "real" romper.
Nota: ahora he publicado el Mathematica código en mi página web.
Si en realidad la escritura de una tarjeta sim, entonces usted sólo tiene que analizar la posición de la bola y la fuerza aplicada vectores (similar a el péndulo de Newton). Desde que dijiste que estás ignorando la fricción, las bolas no girar o frenar, por lo que usted puede hacer como un 2-modelo tridimensional de discos. Todos los discos son incompresibles y tener el 100% de elasticidad (es decir, no hay pérdida de energía cinética en la colisión). A continuación, "todo lo que tiene que hacer" es establecer un ciclo de tiempo, y por cada clic del reloj, comprobar las colisiones, calcular el impacto de los vectores, el uso de conservación del momento para calcular el rebote ángulos y velocidades, y listo!
