evaluar $\lim_{n \to \infty }(\frac{n!}{n^n})^\frac{2n^4 + 1}{5n^5 + 1}$

Question

Intentaba calcular el siguiente límite $$\lim_{n \to \infty }\Big(\frac{n!}{n^n}\Big)^{\Large\frac{2n^4+1}{5n^5+1}}$$ Tengo alguna idea de cómo hacerlo. Básicamente he ampliado el $n!$ y dividimos cada término por n para obtener $$\lim_{n \to \infty }\Big(\prod_{r=0}^{n-1}\Big(\frac{n-r}{n}\Big)\Big)^{\Large\frac{2n^4+1}{5n^5+1}}$$ y Si tomo logaritmo entonces puedo convertir la suma en una integral pero no tengo ni idea de cómo ir sobre el tratamiento de la $\dfrac{2n^4+1}{5n^5+1}$ parte que aparece como coeficiente en la suma.

Answer 1

Puede tomar el logaritmo de su producto para obtener $$ \lim_{n \to +\infty}\frac{2n^5 + n}{5n^5 + 1}\times \lim_{n \to +\infty}\frac1n \sum_{k=0}^{n-1}\ln\left(1-\frac{k}{n}\right) $$ dando, con el uso de la Suma de Riemann , $$ \frac25 \times \int_0^1 \ln (1-x) dx=-\frac25. $$ como límite, así, exponenciando, su límite deseado es

$$\color{red}{e^{-2/5}}.$$

Answer 2

Utiliza la aproximación de Stirlings:

https://en.wikipedia.org/wiki/Stirling%27s_approximation

El límite se convierte en:

$$(\sqrt{2\pi n}e^{-n})^{\frac{2 n^4+1}{5 n^5+1}}$$

Para valores grandes de n, la exponencial será similar a $\frac{2}{5n}$

$$(\sqrt{2\pi n}e^{-n})^{\frac{2}{5 n}}$$

Usted obtiene

$$(2\pi n)^{\frac{2}{5 n}}e^{-2/5}$$

Para valores grandes de n, la exponencial del primer término será muy próxima a. Se acercará a 1 por lo que terminas con:

$$e^{-2/5}$$

Answer 3

Podemos escribir la secuencia dada $a_{n}$ como $$a_{n} = \left\{\left(\frac{n!}{n^{n}}\right)^{1/n}\right\}^{(2 + 1/n^{4})/(5 + 1/n^{5})} = \{b_{n}^{1/n}\}^{c_{n}}\tag{1}$$ donde $$b_{n} = \frac{n!}{n^{n}}, \, c_{n} = \frac{2 + (1/n^{4})}{5 + (1/n^{5})}$$ Ahora podemos ver que $c_{n} \to 2/5$ como $n \to \infty$ y $$\frac{b_{n + 1}}{b_{n}} = \frac{(n + 1)!}{(n + 1)^{n + 1}}\cdot\frac{n^{n}}{n!} = \dfrac{1}{\left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^{n}} \to \frac{1}{e}\text{ as }n \to \infty$$ Por lo tanto $b_{n}^{1/n} \to 1/e$ . En $(1)$ ahora está claro que $a_{n} \to (1/e)^{2/5} = e^{-2/5}$ como $n \to \infty$ .

Aquí hemos utilizado el siguiente teorema estándar

Si $a_{n}$ es una secuencia de números positivos y $a_{n + 1}/a_{n} \to L$ como $n \to \infty$ entonces $a_{n}^{1/n} \to L$ como $n \to \infty$ .